Номер 439, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 439, страница 129.

Условие.

439. После того как смешали 12 г одной жидкости и 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна 1,3 г/см³. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на 0,2 г/см³ больше плотности другой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1 = 12 \text{ г}$ — масса первой жидкости.
• $m_2 = 14 \text{ г}$ — масса второй жидкости.
• $\rho_1$ — плотность первой жидкости.
• $\rho_2$ — плотность второй жидкости.
• $\rho_{смеси} = 1,3 \text{ г/см}^3$ — плотность полученной смеси.

Из условия задачи известно, что вторая жидкость (массой $14 \text{ г}$) имеет большую плотность, и разница в плотностях составляет $0,2 \text{ г/см}^3$. Следовательно, мы можем записать:

$\rho_2 = \rho_1 + 0,2$

Плотность смеси вычисляется как отношение ее общей массы к общему объему. При смешивании (если не происходит химической реакции или значительного изменения объема) общая масса равна сумме масс компонентов, а общий объем — сумме их объемов.

Общая масса смеси: $m_{смеси} = m_1 + m_2 = 12 \text{ г} + 14 \text{ г} = 26 \text{ г}$.

Объемы каждой жидкости можно выразить через их массу и плотность по формуле $V = m/\rho$:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1}$ и $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2}$

Общий объем смеси: $V_{смеси} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$.

Формула для плотности смеси:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}$

Подставим известные значения и соотношение плотностей в эту формулу. Для удобства обозначим $\rho_1 = \rho$, тогда $\rho_2 = \rho + 0,2$.

$1,3 = \frac{12 + 14}{\frac{12}{\rho} + \frac{14}{\rho + 0,2}}$

$1,3 = \frac{26}{\frac{12(\rho + 0,2) + 14\rho}{\rho(\rho + 0,2)}}$

Перевернем знаменатель и упростим выражение:

$1,3 = \frac{26 \cdot \rho(\rho + 0,2)}{12\rho + 2,4 + 14\rho}$

$1,3 = \frac{26(\rho^2 + 0,2\rho)}{26\rho + 2,4}$

Разделим обе части уравнения на 26:

$\frac{1,3}{26} = \frac{\rho^2 + 0,2\rho}{26\rho + 2,4}$

$0,05 = \frac{\rho^2 + 0,2\rho}{26\rho + 2,4}$

Применим правило пропорции:

$0,05(26\rho + 2,4) = \rho^2 + 0,2\rho$

$1,3\rho + 0,12 = \rho^2 + 0,2\rho$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$\rho^2 + 0,2\rho - 1,3\rho - 0,12 = 0$

$\rho^2 - 1,1\rho - 0,12 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$100\rho^2 - 110\rho - 12 = 0$

Сократим все члены уравнения на 2:

$50\rho^2 - 55\rho - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-6) = 3025 + 1200 = 4225$

$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

Найдем корни уравнения по формуле $\rho = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\rho = \frac{55 \pm 65}{2 \cdot 50} = \frac{55 \pm 65}{100}$

Первый корень: $\rho' = \frac{55 + 65}{100} = \frac{120}{100} = 1,2$.

Второй корень: $\rho'' = \frac{55 - 65}{100} = \frac{-10}{100} = -0,1$.

Поскольку плотность не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень $\rho = 1,2 \text{ г/см}^3$.

Это плотность первой, менее плотной жидкости: $\rho_1 = 1,2 \text{ г/см}^3$.

Теперь найдем плотность второй, более плотной жидкости:

$\rho_2 = \rho_1 + 0,2 = 1,2 + 0,2 = 1,4 \text{ г/см}^3$.

Ответ: плотность одной жидкости равна $1,2 \text{ г/см}^3$, а плотность другой жидкости — $1,4 \text{ г/см}^3$.