Номер 432, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - номер 432, страница 128.

Условие.

432. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик получил через год на 40 000 р. больше. Оставив эти деньги в банке ещё на год под такой же процент, он снял со своего счёта всю сумму, которая составила 583 200 р. Какая сумма денег была положена в банк и сколько процентов годовых начислял банк?

Решение 1.

Решение 8.

Сколько процентов годовых начислял банк?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — это первоначальная сумма, которую вкладчик положил в банк, а $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби (например, для 8% годовых $r = 0.08$).

Согласно условию, через год вкладчик получил на 40 000 р. больше. Эта сумма представляет собой проценты, начисленные на первоначальный вклад за первый год. Математически это можно записать как:
$S \cdot r = 40000$

Сумма на счете через год стала равна $S_1 = S + 40000$.

Эту новую сумму вкладчик оставил в банке еще на год под тот же процент. Через второй год он снял со счета всю сумму, которая составила 583 200 р. Это означает, что сумма $S_1$ была увеличена на $r$ процентов (умножена на коэффициент $1+r$):
$S_1 \cdot (1 + r) = 583200$

Подставим выражение для $S_1$ в это уравнение:
$(S + 40000)(1 + r) = 583200$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$S \cdot (1+r) + 40000 \cdot (1+r) = 583200$
$S + S \cdot r + 40000 + 40000 \cdot r = 583200$

Из первого условия мы знаем, что $S \cdot r = 40000$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$S + 40000 + 40000 + 40000 \cdot r = 583200$

Упростим выражение:
$S + 80000 + 40000r = 583200$
$S + 40000r = 583200 - 80000$
$S + 40000r = 503200$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $S \cdot r = 40000$
2) $S + 40000r = 503200$

Из первого уравнения выразим $S$: $S = \frac{40000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{40000}{r} + 40000r = 503200$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $r$ (мы знаем, что $r \neq 0$, так как проценты начислялись):
$40000 + 40000r^2 = 503200r$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$40000r^2 - 503200r + 40000 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все коэффициенты уравнения на 800:
$50r^2 - 629r + 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-629)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 50 = 395641 - 10000 = 385641$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{385641} = 621$.

Теперь найдем корни уравнения для $r$:
$r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{629 \pm 621}{2 \cdot 50} = \frac{629 \pm 621}{100}$

Получаем два возможных решения:
$r_1 = \frac{629 - 621}{100} = \frac{8}{100} = 0.08$
$r_2 = \frac{629 + 621}{100} = \frac{1250}{100} = 12.5$

Значение $r_2 = 12.5$ соответствует процентной ставке в 1250% годовых, что является нереалистичным условием для банковского вклада. Поэтому мы выбираем единственное правдоподобное решение $r_1 = 0.08$.

Переведем это значение в проценты: $0.08 \cdot 100\% = 8\%$.

Ответ: 8%.

Какая сумма денег была положена в банк?

Зная годовую процентную ставку $r=0.08$, мы можем легко найти первоначальную сумму вклада $S$, используя соотношение, полученное из условия задачи: $S \cdot r = 40000$.

Подставим известное значение $r$:
$S \cdot 0.08 = 40000$

Отсюда находим $S$:
$S = \frac{40000}{0.08} = \frac{4000000}{8} = 500000$ рублей.

Таким образом, первоначальная сумма, положенная в банк, составляла 500 000 рублей.

Проведем проверку:
1. Первоначальный вклад: 500 000 р.
2. Проценты за первый год: $500000 \cdot 0.08 = 40000$ р. (верно).
3. Сумма на счете через год: $500000 + 40000 = 540000$ р.
4. Сумма на счете через два года: $540000 \cdot (1 + 0.08) = 540000 \cdot 1.08 = 583200$ р. (верно).

Ответ: 500 000 рублей.