Номер 441, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 441, страница 129.

Условие.

441. К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи обозначим первоначальную массу воды в растворе через $x$ (в граммах).

Масса соли в растворе, согласно условию, составляет $50$ г. Тогда первоначальная масса всего раствора была $m_1 = (x + 50)$ г, а его концентрация (массовая доля соли) $C_1$ вычислялась по формуле:

$C_1 = \frac{50}{x + 50}$

После того, как к раствору добавили $150$ г воды, масса воды в нем стала $(x + 150)$ г, а общая масса нового раствора составила $m_2 = (x + 50) + 150 = (x + 200)$ г. Новая концентрация соли $C_2$ стала равна:

$C_2 = \frac{50}{x + 200}$

По условию, концентрация уменьшилась на $7,5\%$. В долях это составляет $0,075$. Таким образом, разница между первоначальной и новой концентрациями равна $0,075$.

$C_1 - C_2 = 0,075$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение и решим его относительно $x$:

$\frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 200} = 0,075$

Вынесем общий множитель $50$ за скобки в левой части:

$50 \left( \frac{1}{x + 50} - \frac{1}{x + 200} \right) = 0,075$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$50 \left( \frac{(x + 200) - (x + 50)}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

Упростим выражение в числителе дроби:

$50 \left( \frac{x + 200 - x - 50}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

$50 \left( \frac{150}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

$\frac{7500}{(x + 50)(x + 200)} = 0,075$

Выразим произведение в знаменателе:

$(x + 50)(x + 200) = \frac{7500}{0,075}$

$(x + 50)(x + 200) = 100000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 200x + 50x + 10000 = 100000$

$x^2 + 250x - 90000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 250^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90000) = 62500 + 360000 = 422500$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-250 \pm \sqrt{422500}}{2 \cdot 1} = \frac{-250 \pm 650}{2}$

$x_1 = \frac{-250 + 650}{2} = \frac{400}{2} = 200$

$x_2 = \frac{-250 - 650}{2} = \frac{-900}{2} = -450$

Поскольку масса воды $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -450$ не соответствует условию задачи. Следовательно, первоначальная масса воды в растворе была $200$ г.

Сколько воды содержал раствор

На основе проведенных вычислений мы установили, что первоначальное количество воды в растворе, обозначенное как $x$, составляет 200 г.

Ответ: 200 г

и какова была его концентрация

Первоначальная концентрация раствора $C_1$ рассчитывается по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\%$.
Первоначальная масса раствора: $m_1 = x + 50 = 200 + 50 = 250$ г.
$C_1 = \frac{50}{250} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%