Страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

445. В каких координатных четвертях нет ни одной точки графика функции:

а) y = –3,5x² – 2,6;

б) y = x² – 12x + 34?

а) $y = -3,5x^2 - 2,6$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3,5$, что является отрицательным числом ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем наибольшее значение функции. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда выражение $-3,5x^2 \le 0$. Следовательно, для любого значения $x$ значение функции $y = -3,5x^2 - 2,6$ будет меньше либо равно $-2,6$. $y \le -2,6$.

Это означает, что все точки графика функции имеют отрицательную ординату. График целиком расположен ниже оси абсцисс.

Координатные четверти, в которых ордината ($y$) положительна, — это I и II четверти. Поскольку для данной функции $y$ никогда не бывает положительным, график не может иметь точек в этих четвертях. График функции расположен в III ($x < 0, y < 0$) и IV ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Ответ: I и II.

б) $y = x^2 - 12x + 34$

Это также квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что является положительным числом ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для определения расположения графика найдем координаты его вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6$.

Подставим $x_v = 6$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$: $y_v = (6)^2 - 12 \cdot 6 + 34 = 36 - 72 + 34 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Эта точка, имея положительную абсциссу и отрицательную ординату, расположена в IV координатной четверти.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, вершина является точкой минимума. Это значит, что область значений функции $y \ge -2$.

Проверим, в каких четвертях могут находиться точки графика:
- I и II четверти ($y > 0$): Точки есть, так как функция может принимать положительные значения (например, при $x=0$, $y=34$). При $x < 0$ значение $y$ всегда будет положительным, так как $x^2 > 0$ и $-12x > 0$, значит, $y = x^2 - 12x + 34$ > 34. Это точки во II четверти. При достаточно больших $x$ (например, $x=10$, $y=14$) точки будут и в I четверти.
- IV четверть ($x > 0, y < 0$): Точки есть. Как мы установили, вершина параболы $(6; -2)$ находится в IV четверти.
- III четверть ($x < 0, y < 0$): Точек нет. Для нахождения в этой четверти обе координаты должны быть отрицательными. Однако, как мы показали выше, если $x < 0$, то $y$ всегда будет положительным. Следовательно, в III четверти нет ни одной точки графика.

Ответ: III.

446. Решите неравенство:

а) $x^2 - 6x < 0$

Для решения данного квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$. Это можно сделать, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Эти корни являются точками, в которых парабола $y = x^2 - 6x$ пересекает ось абсцисс. Поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x < 0$ выполняется на том интервале, где график функции находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(0, 6)$.

Ответ: $x \in (0; 6)$.

б) $8x + x^2 \ge 0$

Сначала приведем неравенство к стандартному виду: $x^2 + 8x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$, вынеся $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 + 8x \ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит в точках, которые лежат левее меньшего корня (включая корень) и правее большего корня (включая корень).

Следовательно, решение: $x \le -8$ или $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [0; \infty)$.

в) $x^2 \le 4$

Перенесем 4 в левую часть неравенства, чтобы получить $x^2 - 4 \le 0$.

Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 4$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на интервале между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $x^2 > 6$

Перенесем 6 в левую часть: $x^2 - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$:

$x^2 = 6$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$

Корни: $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 6$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней, то есть левее меньшего корня и правее большего.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{6}$ или $x > \sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; \infty)$.

1. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, которая обращает данное уравнение в верное числовое равенство.

Если уравнение содержит переменные $x$ и $y$, то его решение записывается в виде пары чисел $(x_0; y_0)$. Чтобы проверить, является ли пара чисел решением, нужно подставить эти числа вместо переменных в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство (например, $5 = 5$), то пара является решением. Если равенство неверное (например, $7 = 5$), то пара не является решением.

Пример:

Рассмотрим уравнение $3x - y = 5$.

• Проверим пару чисел $(2; 1)$. Подставим $x=2$ и $y=1$ в уравнение:

  $3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.

  Мы получили верное равенство $5=5$. Следовательно, пара $(2; 1)$ является решением этого уравнения.

• Проверим пару чисел $(1; -1)$. Подставим $x=1$ и $y=-1$ в уравнение:

  $3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$.

  Мы получили неверное равенство $4=5$. Следовательно, пара $(1; -1)$ не является решением.

В отличие от многих уравнений с одной переменной, уравнения с двумя переменными чаще всего имеют бесконечное множество решений. Все эти решения (пары чисел) образуют на координатной плоскости график данного уравнения (например, прямую или параболу).

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными, например $x$ и $y$, называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых $(x; y)$ являются решениями этого уравнения. Другими словами, это геометрическая фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, чьи координаты удовлетворяют данному уравнению.

Рассмотрим процесс подробнее. Уравнение с двумя переменными, например, $ax+by=c$ или $y=x^2$, задает определенную связь между переменными $x$ и $y$. Решением такого уравнения является любая пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение дает верное равенство. Например, для уравнения $x+y=5$ пара $(2, 3)$ является решением, так как $2+3=5$.

Каждой такой паре-решению $(x, y)$ соответствует уникальная точка на координатной плоскости. Если мы изобразим на плоскости все возможные точки, соответствующие всем решениям уравнения, то совокупность этих точек и образует его график. Таким образом, график — это визуальное представление множества решений уравнения.

Например:
• графиком линейного уравнения $2x-y=3$ является прямая;
• графиком уравнения $x^2+y^2=4$ является окружность с центром в начале координат и радиусом 2;
• графиком уравнения $y=x^2$ является парабола.

Ответ: Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

3. Объясните, как решают систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени. В качестве примера возьмите систему

Системы, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй, обычно решаются методом подстановки. Алгоритм решения следующий:

1. Из линейного уравнения (первой степени) выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в нелинейное уравнение (второй степени).
3. В результате получается уравнение с одной переменной, которое, как правило, является квадратным.
4. Решают это квадратное уравнение, находя один или два корня (или убеждаются, что корней нет).
5. Найденные значения переменной подставляют в выражение из первого шага и находят соответствующие значения второй переменной.
6. Записывают ответ в виде пар чисел $(x; y)$.

Решение примера

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2+y^2=5, \\ x-y=1. \end{cases}$

Шаг 1: Выразим одну переменную из линейного уравнения.

Возьмем второе, линейное, уравнение системы $x-y=1$. Из него удобно выразить $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Шаг 2: Подставим полученное выражение в нелинейное уравнение.

Подставим выражение $x = y + 1$ в первое уравнение системы $x^2+y^2=5$ вместо $x$:

$(y+1)^2 + y^2 = 5$

Шаг 3: Решим полученное уравнение с одной переменной.

Это уравнение является квадратным относительно переменной $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + 2y + 1) + y^2 = 5$

$2y^2 + 2y + 1 - 5 = 0$

$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -2$. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Шаг 4: Найдем соответствующие значения второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение из первого шага $x = y + 1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Шаг 5: Запишем ответ.

Мы получили две пары чисел, которые являются решениями системы: $(2; 1)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.