Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

447. Является ли пара чисел (–2; 3) решением неравенства:

а) Чтобы проверить, является ли пара чисел $(-2; 3)$ решением неравенства $2x - 3y + 16 > 0$, подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в левую часть неравенства:
$2 \cdot (-2) - 3 \cdot 3 + 16 = -4 - 9 + 16 = 3$.
Получаем верное числовое неравенство $3 > 0$.
Ответ: да, является.

б) Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в неравенство $x^2 + 3xy - y^2 < 20$:
$(-2)^2 + 3 \cdot (-2) \cdot 3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = -23$.
Получаем верное числовое неравенство $-23 < 20$.
Ответ: да, является.

в) Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в неравенство $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 < 2$:
$(-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.
Получаем неверное числовое неравенство $2 < 2$, поскольку $2 = 2$.
Ответ: нет, не является.

г) Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в неравенство $(x + y)(y - 8) < 1$:
$(-2 + 3)(3 - 8) = 1 \cdot (-5) = -5$.
Получаем верное числовое неравенство $-5 < 1$.
Ответ: да, является.

д) Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в неравенство $x^2 + y^2 - x - y \ge 0$:
$(-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 12$.
Получаем верное числовое неравенство $12 \ge 0$.
Ответ: да, является.

е) Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в неравенство $3x^2 - 5y^2 + x - y < 11$:
$3 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot 3^2 + (-2) - 3 = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 2 - 3 = -38$.
Получаем верное числовое неравенство $-38 < 11$.
Ответ: да, является.

448. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

а) Чтобы найти решения неравенства $y > 2x - 3$, будем подставлять различные значения $x$ и находить соответствующие значения $y$, удовлетворяющие этому неравенству.
1. Пусть $x = 1$. Тогда неравенство примет вид $y > 2 \cdot 1 - 3$, то есть $y > -1$. Выберем любое значение $y$, которое больше $-1$, например, $y = 0$. Пара $(1, 0)$ является решением, так как $0 > 2 \cdot 1 - 3 \implies 0 > -1$, что верно.
2. Пусть $x = 3$. Тогда неравенство примет вид $y > 2 \cdot 3 - 3$, то есть $y > 3$. Выберем, например, $y = 5$. Пара $(3, 5)$ является решением, так как $5 > 2 \cdot 3 - 3 \implies 5 > 3$, что верно.
Ответ: $(1, 0)$ и $(3, 5)$.

б) Чтобы найти решения неравенства $y < 3x - 5$, подставим произвольные значения $x$ и подберем для них подходящие значения $y$.
1. Пусть $x = 2$. Тогда неравенство принимает вид $y < 3 \cdot 2 - 5$, то есть $y < 1$. Возьмем любое значение $y$ меньше 1, например, $y = 0$. Проверим: $0 < 3 \cdot 2 - 5 \implies 0 < 1$. Неравенство верное, значит, пара $(2, 0)$ является решением.
2. Пусть $x = 0$. Тогда неравенство принимает вид $y < 3 \cdot 0 - 5$, то есть $y < -5$. Возьмем, например, $y = -10$. Проверим: $-10 < 3 \cdot 0 - 5 \implies -10 < -5$. Неравенство верное, значит, пара $(0, -10)$ является решением.
Ответ: $(2, 0)$ и $(0, -10)$.

в) Для неравенства $y \le x^2 - 1$ также подберем два решения путем выбора значения $x$ и последующего нахождения $y$.
1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y \le 0^2 - 1$, то есть $y \le -1$. Подойдет значение $y = -1$, так как неравенство нестрогое. Пара $(0, -1)$ является решением, потому что $-1 \le 0^2 - 1 \implies -1 \le -1$.
2. Возьмем $x = 3$. Тогда $y \le 3^2 - 1$, то есть $y \le 8$. Подойдет любое значение $y$, не превышающее 8, например, $y = 5$. Пара $(3, 5)$ является решением, так как $5 \le 3^2 - 1 \implies 5 \le 8$.
Ответ: $(0, -1)$ и $(3, 5)$.

г) Неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, находящихся внутри или на границе окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Любая пара чисел $(x, y)$, соответствующая точке из этой области, является решением.
1. Возьмем точку в центре круга, $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0^2 + 0^2 \le 9 \implies 0 \le 9$. Это верное утверждение, значит, $(0, 0)$ – решение.
2. Возьмем другую точку, которая очевидно находится внутри круга, например, $(1, 2)$. Проверим: $1^2 + 2^2 \le 9 \implies 1 + 4 \le 9 \implies 5 \le 9$. Утверждение верное, значит, $(1, 2)$ – тоже решение.
Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

449. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

а) $y \ge x$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, выполним следующие шаги:

1. Построим граничную линию. Для этого заменим знак неравенства на знак равенства: $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой I и III координатных углов и проходит, например, через точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

2. Определим тип линии. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), точки на самой прямой $y=x$ являются частью решения. Поэтому линию следует рисовать сплошной.

3. Выберем полуплоскость. Прямая $y=x$ делит всю координатную плоскость на две части. Чтобы определить, какая из них является решением, возьмем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Например, точку $(0, 1)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$1 \ge 0$

Это верное утверждение. Значит, решением является та полуплоскость, в которой находится точка $(0, 1)$. Это область выше прямой $y=x$.

Ответ: Решением является прямая $y=x$ и вся полуплоскость, расположенная выше этой прямой.

б) $y \le x - 1$

1. Построим граничную линию, заданную уравнением $y = x - 1$. Это прямая, параллельная прямой $y=x$, но смещенная на 1 единицу вниз. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$).

2. Тип линии. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граничная линия является частью решения и изображается сплошной линией.

3. Выберем полуплоскость. Возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство:

$0 \le 0 - 1$

$0 \le -1$

Это неверное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=x-1$.

Ответ: Решением является прямая $y=x-1$ и вся полуплоскость, расположенная ниже этой прямой.

в) $y > \frac{1}{4}x - 1$

1. Построим граничную линию $y = \frac{1}{4}x - 1$. Найдем две точки на этой прямой: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=4$, то $y = \frac{1}{4}(4) - 1 = 1 - 1 = 0$ (точка $(4, 0)$).

2. Тип линии. Неравенство строгое ($>$), значит, точки на самой прямой не являются решением. Линию следует рисовать пунктирной (штриховой).

3. Выберем полуплоскость. Возьмем в качестве пробной точки начало координат $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство:

$0 > \frac{1}{4}(0) - 1$

$0 > -1$

Это верное утверждение. Значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область выше пунктирной прямой $y=\frac{1}{4}x - 1$.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y=\frac{1}{4}x-1$. Сама прямая в решение не входит.

г) $y < \frac{1}{3}x - 3$

1. Построим граничную линию $y = \frac{1}{3}x - 3$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка $(0, -3)$); если $x=3$, то $y = \frac{1}{3}(3) - 3 = 1 - 3 = -2$ (точка $(3, -2)$).

2. Тип линии. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на прямой не являются решением. Линию следует рисовать пунктирной (штриховой).

3. Выберем полуплоскость. Проверим точку $(0, 0)$:

$0 < \frac{1}{3}(0) - 3$

$0 < -3$

Это неверное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область ниже пунктирной прямой $y=\frac{1}{3}x-3$.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y=\frac{1}{3}x-3$. Сама прямая в решение не входит.