Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Что называется решением неравенства с двумя переменными?

Что называется решением неравенства с двумя переменными?

Неравенство с двумя переменными, например $x$ и $y$, представляет собой математическое выражение вида $F(x, y) > G(x, y)$, $F(x, y) < G(x, y)$, $F(x, y) \ge G(x, y)$ или $F(x, y) \le G(x, y)$, где $F(x, y)$ и $G(x, y)$ — это выражения, зависящие от этих переменных.

Решением неравенства с двумя переменными называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке на места переменных $x$ и $y$ соответственно превращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть дано линейное неравенство: $2x - y < 4$.

Чтобы проверить, является ли какая-либо пара чисел решением, нужно подставить эти числа в неравенство.

• Возьмем пару $(3, 5)$. Подставляем $x=3$ и $y=5$:
  $2 \cdot 3 - 5 < 4$
  $6 - 5 < 4$
  $1 < 4$
  Это верное числовое неравенство. Следовательно, пара $(3, 5)$ является решением данного неравенства.
• Теперь возьмем пару $(1, -3)$. Подставляем $x=1$ и $y=-3$:
  $2 \cdot 1 - (-3) < 4$
  $2 + 3 < 4$
  $5 < 4$
  Это неверное числовое неравенство. Следовательно, пара $(1, -3)$ не является решением.

В отличие от уравнений, неравенства с двумя переменными обычно имеют бесконечное множество решений. Совокупность всех таких пар $(x, y)$ называется множеством решений, которое геометрически представляет собой некоторую область на координатной плоскости. Для линейного неравенства эта область является полуплоскостью, ограниченной прямой, которая соответствует равенству ($2x - y = 4$).

Ответ: Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, которая при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство.

2. Какую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными?

Решением системы неравенств с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называют любую упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, которая обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство при подстановке этих чисел вместо переменных.

Иными словами, пара чисел является решением системы, если она является решением всех неравенств, входящих в эту систему, одновременно.

Рассмотрим систему, состоящую из двух неравенств с переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} f(x, y) > 0 \\ g(x, y) > 0 \end{cases} $

(вместо знака $>$ могут быть знаки $<, \le, \ge$)

Упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$ будет решением этой системы только в том случае, если оба числовых неравенства $f(x_0, y_0) > 0$ и $g(x_0, y_0) > 0$ являются верными. Если хотя бы одно из них неверно, то пара $(x_0; y_0)$ не является решением системы.

Пример:

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x + y > 5 \\ 2x - y < 3 \end{cases} $

Проверим, является ли пара чисел $(4; 2)$ решением этой системы. Для этого подставим $x=4$ и $y=2$ в каждое неравенство.

1. Первое неравенство: $4 + 2 > 5 \implies 6 > 5$. Это верное неравенство.

2. Второе неравенство: $2 \cdot 4 - 2 < 3 \implies 8 - 2 < 3 \implies 6 < 3$. Это неверное неравенство.

Поскольку второе неравенство не обратилось в верное, пара чисел $(4; 2)$ не является решением данной системы.

Теперь проверим пару $(3; 4)$. Подставим $x=3$ и $y=4$.

1. Первое неравенство: $3 + 4 > 5 \implies 7 > 5$. Это верное неравенство.

2. Второе неравенство: $2 \cdot 3 - 4 < 3 \implies 6 - 4 < 3 \implies 2 < 3$. Это также верное неравенство.

Так как оба неравенства обратились в верные, пара чисел $(3; 4)$ является решением данной системы.

Ответ: Решением системы неравенств с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел, при подстановке которой вместо переменных каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством.

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) x + y ≥ 4; б) xy ≥ 4.

а) $x + y \ge 4$

Для того чтобы изобразить множество решений неравенства на координатной плоскости, сначала рассмотрим граничное уравнение $x + y = 4$.

Это уравнение является линейным, и его можно представить в виде $y = 4 - x$. Графиком этой функции является прямая линия.

Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей:
1. Если $x = 0$, то $y = 4 - 0 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 4 - x$, откуда $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.

Проведем через эти две точки прямую. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сама прямая является частью множества решений и изображается сплошной линией.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять начало координат — точку $(0, 0)$.

Подставим координаты этой точки в исходное неравенство:
$0 + 0 \ge 4$
$0 \ge 4$

Полученное неравенство является ложным. Это означает, что полуплоскость, содержащая начало координат, не является решением. Следовательно, решением является другая полуплоскость, то есть область, расположенная выше и правее прямой $y = 4 - x$.

Ответ: Множеством решений является полуплоскость, расположенная над прямой $y = 4 - x$, включая саму прямую.

б) $xy \ge 4$

Рассмотрим граничное уравнение $xy = 4$.

Это уравнение можно записать в виде $y = \frac{4}{x}$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки самой гиперболы входят в множество решений, поэтому ее ветви изображаются сплошными линиями.

Гипербола делит плоскость на три области. Чтобы определить, какие из них удовлетворяют неравенству, рассмотрим два случая.

1. Случай $x > 0$ (I координатная четверть):
В этом случае неравенство $xy \ge 4$ можно разделить на $x$ без изменения знака: $y \ge \frac{4}{x}$. Это означает, что для любого положительного $x$ подходят все точки, лежащие на и выше ветви гиперболы. Проверим, взяв точку $(2, 3)$, которая лежит выше гиперболы: $2 \cdot 3 = 6 \ge 4$. Неравенство верное.

2. Случай $x < 0$ (III координатная четверть):
При делении неравенства $xy \ge 4$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \le \frac{4}{x}$. Это означает, что для любого отрицательного $x$ подходят все точки, лежащие на и ниже ветви гиперболы. Проверим, взяв точку $(-2, -3)$, которая лежит ниже гиперболы: $(-2) \cdot (-3) = 6 \ge 4$. Неравенство верное.

3. Случай $x=0$:
Если $x=0$, то неравенство $0 \cdot y \ge 4$ превращается в $0 \ge 4$, что является ложным. Значит, точки на оси $Oy$ не являются решениями.

Таким образом, множество решений состоит из двух областей: области над ветвью гиперболы в первой четверти и области под ветвью гиперболы в третьей четверти. Сама гипербола также включена в решение.

Ответ: Множество решений — это точки, лежащие на гиперболе $y = \frac{4}{x}$, а также точки в первой координатной четверти, расположенные над ветвью гиперболы, и точки в третьей координатной четверти, расположенные под ветвью гиперболы.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств, необходимо последовательно проанализировать каждое неравенство и затем найти пересечение их областей решений.

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 36$, задает множество точек, расстояние от которых до начала координат не превышает 6. Границей этой области является окружность, определяемая уравнением $x^2 + y^2 = 36$. Это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак '$\le$'), решением является замкнутый круг, то есть все точки внутри окружности и на ее границе.

Второе неравенство, $x + y \le 6$, является линейным. Оно задает полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, заданная уравнением $x + y = 6$. Для построения этой прямой найдем ее точки пересечения с осями координат: при $x=0$ получаем $y=6$ (точка $(0, 6)$), а при $y=0$ получаем $x=6$ (точка $(6, 0)$). Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, подставим в неравенство координаты пробной точки, например, начала координат $(0, 0)$: $0 + 0 \le 6$. Это верное утверждение ($0 \le 6$), следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $x + y = 6$, включая саму прямую.

Множество решений системы неравенств — это пересечение найденных областей. Таким образом, мы ищем все точки, которые одновременно принадлежат кругу с центром в $(0, 0)$ и радиусом 6, и лежат в полуплоскости на и ниже прямой $x + y = 6$.

Прямая $x+y=6$ проходит через точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, которые также лежат на окружности $x^2+y^2=36$. Эта прямая является хордой круга. Искомое множество решений представляет собой сегмент круга, который отсекается этой хордой и содержит начало координат.

Ответ: Искомое множество решений представляет собой сегмент круга с центром в начале координат и радиусом 6, который отсекается прямой $x+y=6$. Эта область включает все точки круга, которые лежат на и ниже этой прямой. Границами фигуры являются отрезок прямой, соединяющий точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, и большая дуга окружности, проходящая через эти же точки.