Страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

490. Сколько решений может иметь система уравнений где r — положительное число?

Для ответа на вопрос проанализируем систему уравнений. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения графиков двух уравнений:

1. $x^2 + y^2 = r^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. Так как $r$ — положительное число, это всегда окружность.
2. $y = -x^2 + 4$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз.

Чтобы найти точки пересечения, решим систему аналитически. Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 4 - y$. Для существования действительных решений для $x$ необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, то есть $4 - y \ge 0$, что равносильно $y \le 4$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$(4 - y) + y^2 = r^2$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - y + (4 - r^2) = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества корней этого квадратного уравнения, удовлетворяющих условию $y \le 4$. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - r^2) = 1 - 16 + 4r^2 = 4r^2 - 15$

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения параметра $r$.

1. Случай, когда решений нет (0 решений)

Если дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходная система не имеет решений.$4r^2 - 15 < 0 \implies 4r^2 < 15 \implies r^2 < \frac{15}{4}$.Поскольку $r > 0$, это означает, что при $0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}$ система не имеет решений. Графически это соответствует случаю, когда окружность слишком мала и не пересекает параболу. Таким образом, система может иметь 0 решений.

2. Случай, когда есть 2 решения

Система может иметь два решения в двух различных ситуациях.

• При $D = 0$, то есть при $r = \frac{\sqrt{15}}{2}$. В этом случае уравнение для $y$ имеет один корень: $y = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $y \le 4$. Найдем $x$: $x^2 = 4 - y = 4 - \frac{1}{2} = 3.5$. Так как $x^2 > 0$, получаем два значения $x = \pm\sqrt{3.5}$. Итого 2 решения. Графически это касание окружности и параболы в двух точках.
• При $r > 4$. В этом случае $D = 4r^2 - 15 > 4 \cdot 4^2 - 15 = 49 > 0$. Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$. Корень $y_2 = \frac{1 + \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$ будет больше 4 (т.к. $\sqrt{4r^2-15} > 7$), поэтому для него $x^2 = 4 - y_2 < 0$, что не дает действительных решений. Корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$ будет меньше 4, и для него $x^2 = 4 - y_1 > 0$, что дает два действительных значения $x$. Итого 2 решения. Графически это большая окружность, пересекающая только нижние ветви параболы.

3. Случай, когда есть 3 решения

Это возможно, когда один корень для $y$ дает одно значение $x$ (то есть $x=0$), а второй корень для $y$ дает два значения $x$. Значение $x=0$ соответствует вершине параболы $(0, 4)$, то есть $y=4$. Подставим $y=4$ в наше квадратное уравнение, чтобы найти соответствующее значение $r$:$4^2 - 4 + (4 - r^2) = 0 \implies 16 - r^2 = 0 \implies r = 4$.При $r=4$ уравнение для $y$ принимает вид $y^2 - y - 12 = 0$. Его корни $y_1 = -3$ и $y_2 = 4$.

• Для $y_2=4$ получаем $x^2 = 4-4=0 \implies x=0$ (одно решение).
• Для $y_1=-3$ получаем $x^2 = 4-(-3)=7 \implies x=\pm\sqrt{7}$ (два решения).

Всего $1+2=3$ решения. Таким образом, система может иметь 3 решения. Это соответствует касанию окружности и вершины параболы.

4. Случай, когда есть 4 решения

Четыре решения система имеет, когда $D > 0$ и оба корня $y_1, y_2$ удовлетворяют условию $y < 4$.Условие $D > 0$ дает $r > \frac{\sqrt{15}}{2}$.Условие $y_2 < 4$ дает $r < 4$.Следовательно, при $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$ оба корня для $y$ действительны, различны и строго меньше 4. Для каждого из них $x^2 = 4-y > 0$, что дает по два различных значения $x$. В итоге получаем $2+2=4$ решения. Таким образом, система может иметь 4 решения.

Суммируя все случаи, мы видим, что количество решений системы может быть 0, 2, 3 или 4 в зависимости от значения положительного параметра $r$.

Ответ: Система уравнений может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.

491. При каких значениях m система уравнений имеет: а) одно решение; б) два решения?

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = m \end{cases} $$

Первое уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{5}$. Второе уравнение, $x - y = m$, которое можно переписать как $y = x - m$, является уравнением прямой. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этой прямой и окружности.

Для нахождения количества решений решим систему методом подстановки. Выразим переменную $x$ из второго уравнения: $$ x = y + m $$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы: $$ (y + m)^2 + y^2 = 5 $$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 + 2my + m^2 + y^2 = 5 $$ $$ 2y^2 + 2my + (m^2 - 5) = 0 $$

Количество решений этого квадратного уравнения, а значит и всей системы, зависит от знака его дискриминанта $D$.

Вычислим дискриминант для квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$, где коэффициенты $a=2$, $b=2m$, $c=m^2-5$: $$ D = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5) $$ $$ D = 4m^2 - 8(m^2 - 5) = 4m^2 - 8m^2 + 40 = 40 - 4m^2 $$

а) одно решение

Система имеет единственное решение, если соответствующее квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при условии, что дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$$ 40 - 4m^2 = 0 $$ $$ 4m^2 = 40 $$ $$ m^2 = 10 $$ $$ m = \pm\sqrt{10} $$

Геометрически это означает, что прямая является касательной к окружности.

Ответ: $m = \pm\sqrt{10}$.

б) два решения

Система имеет два различных решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при условии, что дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$$ 40 - 4m^2 > 0 $$ $$ 40 > 4m^2 $$ $$ 10 > m^2 $$ $$ m^2 < 10 $$

Решением этого неравенства является интервал: $$ -\sqrt{10} < m < \sqrt{10} $$

Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: $m \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.

492. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 3y = -1 \\ x^2 + 2xy + y = 3 \end{cases}$

Это система нелинейных уравнений, которую удобно решать методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = -1 - 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(-1 - 3y)^2 + 2(-1 - 3y)y + y = 3$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(1 + 6y + 9y^2) + (-2y - 6y^2) + y = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(9y^2 - 6y^2) + (6y - 2y + y) + 1 = 3$

$3y^2 + 5y + 1 = 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 + 5y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = -1 - 3y$:

1. При $y_1 = \frac{1}{3}$:

$x_1 = -1 - 3 \cdot \frac{1}{3} = -1 - 1 = -2$

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5$

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(-2; \frac{1}{3}), (5; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 1 \\ xy - y^2 + 3x = -1 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(2x - 1) - (2x - 1)^2 + 3x = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x^2 - x - (4x^2 - 4x + 1) + 3x = -1$

$2x^2 - x - 4x^2 + 4x - 1 + 3x = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 4x^2) + (-x + 4x + 3x) - 1 = -1$

$-2x^2 + 6x - 1 = -1$

$-2x^2 + 6x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель за скобки:

$-2x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 2x - 1$:

1. При $x_1 = 0$:

$y_1 = 2(0) - 1 = -1$

2. При $x_2 = 3$:

$y_2 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

Система имеет два решения.

Ответ: $(0; -1), (3; 5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + y - 11 = 0 \\ 2x + 5y - y^2 - 6 = 0 \end{cases}$

В обоих уравнениях присутствует слагаемое $2x$. Это позволяет использовать метод подстановки или вычитания. Выразим $2x$ из первого уравнения:

$2x = 11 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(11 - y) + 5y - y^2 - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$-y^2 + (5y - y) + (11 - 6) = 0$

$-y^2 + 4y + 5 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 - 4y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$

$y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$y_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $2x = 11 - y$:

1. При $y_1 = 5$:

$2x_1 = 11 - 5 = 6 \implies x_1 = 3$

2. При $y_2 = -1$:

$2x_2 = 11 - (-1) = 12 \implies x_2 = 6$

Получили два решения системы.

Ответ: $(3; 5), (6; -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5x - 2y = 26 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим $x$:

$x = y + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(y + 4)^2 - 3y^2 - 5(y + 4) - 2y = 26$

Раскроем скобки:

$2(y^2 + 8y + 16) - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26$

$2y^2 + 16y + 32 - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 3y^2) + (16y - 5y - 2y) + (32 - 20) = 26$

$-y^2 + 9y + 12 = 26$

Перенесем 26 в левую часть:

$-y^2 + 9y - 14 = 0$

$y^2 - 9y + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 4$:

1. При $y_1 = 2$:

$x_1 = 2 + 4 = 6$

2. При $y_2 = 7$:

$x_2 = 7 + 4 = 11$

Система имеет два решения.

Ответ: $(6; 2), (11; 7)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x^2 - 9y^2 + x - 40y = 19 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$

В первом уравнении заметим выражение $4x^2 - 9y^2$, которое является разностью квадратов:

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$

Перепишем первое уравнение, используя эту формулу:

$(2x - 3y)(2x + 3y) + x - 40y = 19$

Из второго уравнения системы известно, что $2x - 3y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$5(2x + 3y) + x - 40y = 19$

Раскроем скобки и упростим:

$10x + 15y + x - 40y = 19$

$11x - 25y = 19$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 11x - 25y = 19 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -11, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} 22x - 50y = 38 \\ -22x + 33y = -55 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(22x - 50y) + (-22x + 33y) = 38 + (-55)$

$-17y = -17$

$y = 1$

Подставим $y=1$ в уравнение $2x - 3y = 5$ для нахождения $x$:

$2x - 3(1) = 5$

$2x - 3 = 5$

$2x = 8$

$x = 4$

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(4; 1)$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases}$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5$

Раскроем скобки:

$3x^2 + (x^2 + 4x + 4) + 8x + 13x + 26 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 + x^2) + (4x + 8x + 13x) + (4 + 26) = 5$

$4x^2 + 25x + 30 = 5$

$4x^2 + 25x + 25 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 16 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

$x_2 = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x + 2$:

1. При $x_1 = -\frac{5}{4}$:

$y_1 = -\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}$

2. При $x_2 = -5$:

$y_2 = -5 + 2 = -3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{5}{4}; \frac{3}{4}), (-5; -3)$.

493. Найдите все решения системы уравнений:

494. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ xy = -12; \end{cases}$

Это симметрическая система. Её можно решить, выразив $(x+y)^2$ и $(x-y)^2$.

Известно, что $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим значения из системы:

$(x+y)^2 = 40 + 2 \cdot (-12) = 40 - 24 = 16$.

Отсюда следует, что $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Также известно, что $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$. Подставим значения из системы:

$(x-y)^2 = 40 - 2 \cdot (-12) = 40 + 24 = 64$.

Отсюда следует, что $x-y = 8$ или $x-y = -8$.

Теперь мы можем составить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные равенства:

1. Первая система:

$\begin{cases} x+y = 4, \\ x-y = 8. \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $2x = 12$, откуда $x=6$. Подставляя $x=6$ в первое уравнение, находим $6+y=4$, откуда $y=-2$. Получаем решение $(6, -2)$.

2. Вторая система:

$\begin{cases} x+y = 4, \\ x-y = -8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставляя $x=-2$ в первое уравнение, находим $-2+y=4$, откуда $y=6$. Получаем решение $(-2, 6)$.

3. Третья система:

$\begin{cases} x+y = -4, \\ x-y = 8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставляя $x=2$ в первое уравнение, находим $2+y=-4$, откуда $y=-6$. Получаем решение $(2, -6)$.

4. Четвертая система:

$\begin{cases} x+y = -4, \\ x-y = -8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -12$, откуда $x=-6$. Подставляя $x=-6$ в первое уравнение, находим $-6+y=-4$, откуда $y=2$. Получаем решение $(-6, 2)$.

Ответ: $(6, -2), (-2, 6), (2, -6), (-6, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 228, \\ 3x^2 - 2y^2 = 172. \end{cases}$

Эта система является линейной относительно $x^2$ и $y^2$. Для её решения удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y^2$:

$(x^2 + 2y^2) + (3x^2 - 2y^2) = 228 + 172$

$4x^2 = 400$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 100$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$.

Теперь подставим значение $x^2 = 100$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y^2$:

$100 + 2y^2 = 228$

$2y^2 = 228 - 100$

$2y^2 = 128$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 8$, $y_2 = -8$.

Так как переменные $x$ и $y$ входят в уравнения только в квадрате, решением системы будет любая комбинация найденных значений $x$ и $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений:

$(10, 8)$, $(10, -8)$, $(-10, 8)$, $(-10, -8)$.

Ответ: $(10, 8), (10, -8), (-10, 8), (-10, -8)$.

495. Решите систему уравнений:

а) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20 \\ x^2 - 2x + y = -5 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (в данном случае вычитания), чтобы исключить член $x^2$. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + 3x - 4y) - (x^2 - 2x + y) = 20 - (-5)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3x - 4y - x^2 + 2x - y = 20 + 5$
Приведем подобные слагаемые:
$5x - 5y = 25$

Разделим обе части полученного линейного уравнения на 5:
$x - y = 5$
Из этого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = x - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в любое из уравнений исходной системы. Подставим во второе уравнение, так как оно проще:
$x^2 - 2x + (x - 5) = -5$
$x^2 - 2x + x - 5 = -5$
$x^2 - x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную зависимость $y = x - 5$:
1. При $x_1 = 0$, $y_1 = 0 - 5 = -5$. Первое решение системы: $(0; -5)$.
2. При $x_2 = 1$, $y_2 = 1 - 5 = -4$. Второе решение системы: $(1; -4)$.

Ответ: $(0; -5)$, $(1; -4)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y^2 + 3x - y = 1 \\ y^2 + 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Правые части уравнений равны, что позволяет приравнять их левые части. Также можно вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить член $y^2$. Вычтем первое уравнение из второго:
$(y^2 + 6x - 2y) - (y^2 + 3x - y) = 1 - 1$
Раскроем скобки и упростим:
$y^2 + 6x - 2y - y^2 - 3x + y = 0$
$3x - y = 0$

Из полученного простого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$(3x)^2 + 3x - (3x) = 1$
$9x^2 + 3x - 3x = 1$
$9x^2 = 1$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлекая квадратный корень, получаем два значения для $x$:
$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 3x$:
1. При $x_1 = \frac{1}{3}$, $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. Первое решение: $(\frac{1}{3}; 1)$.
2. При $x_2 = -\frac{1}{3}$, $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$. Второе решение: $(-\frac{1}{3}; -1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 1)$, $(-\frac{1}{3}; -1)$.