Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

527. Пусть (aₙ)— последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые десять членов этой последовательности. Найдите a₂₀, a₄₀, aₙ.

Последовательность $(a_n)$ — это последовательность квадратов натуральных чисел. Это означает, что каждый член последовательности $a_n$ с номером $n$ равен квадрату этого номера. Таким образом, общая формула для члена последовательности имеет вид: $a_n = n^2$, где $n$ — натуральное число (1, 2, 3, ...).

Выпишите первые десять членов этой последовательности.
Чтобы найти первые десять членов, нужно последовательно подставить в формулу $a_n = n^2$ значения $n$ от 1 до 10:
$a_1 = 1^2 = 1$
$a_2 = 2^2 = 4$
$a_3 = 3^2 = 9$
$a_4 = 4^2 = 16$
$a_5 = 5^2 = 25$
$a_6 = 6^2 = 36$
$a_7 = 7^2 = 49$
$a_8 = 8^2 = 64$
$a_9 = 9^2 = 81$
$a_{10} = 10^2 = 100$
Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Найдите $a_{20}$, $a_{40}$, $a_n$.
Для нахождения указанных членов последовательности и общей формулы используем определение последовательности:
- Для нахождения $a_{20}$ подставим $n = 20$ в общую формулу $a_n = n^2$:
$a_{20} = 20^2 = 400$.
- Для нахождения $a_{40}$ подставим $n = 40$ в общую формулу $a_n = n^2$:
$a_{40} = 40^2 = 1600$.
- Формула для n-го члена $a_n$ по определению является выражением, которое показывает, как вычислить любой член последовательности по его номеру $n$. Так как последовательность состоит из квадратов натуральных чисел, то формула для n-го члена:
$a_n = n^2$.
Ответ: $a_{20} = 400$, $a_{40} = 1600$, $a_n = n^2$.

528. Какой член последовательности a₁, a₂, a₃, … :

a) следует за членом a₉₉, a₂₀₀, aₙ, aₙ₋₂, aₙ ₊ ₁, a₂ₙ;

б) предшествует члену a₇₁, a₁₀₀, aₙ₋₂, aₙ ₊ ₃, a₃ₙ?

а) Чтобы найти член последовательности, который следует за данным членом $a_k$, нужно к его номеру (индексу) $k$ прибавить 1. Таким образом, следующим будет член $a_{k+1}$.

• За членом $a_{99}$ следует член с номером $99 + 1 = 100$, то есть $a_{100}$.

• За членом $a_{200}$ следует член с номером $200 + 1 = 201$, то есть $a_{201}$.

• За членом $a_n$ следует член с номером $n+1$, то есть $a_{n+1}$.

• За членом $a_{n-1}$ следует член с номером $(n-1)+1 = n$, то есть $a_n$.

• За членом $a_{n+1}$ следует член с номером $(n+1)+1 = n+2$, то есть $a_{n+2}$.

• За членом $a_{2n}$ следует член с номером $2n+1$, то есть $a_{2n+1}$.

Ответ: $a_{100}$, $a_{201}$, $a_{n+1}$, $a_n$, $a_{n+2}$, $a_{2n+1}$.

б) Чтобы найти член последовательности, который предшествует данному члену $a_k$, нужно от его номера (индекса) $k$ отнять 1. Таким образом, предшествующим будет член $a_{k-1}$ (при условии, что $k \ge 2$).

• Члену $a_{71}$ предшествует член с номером $71-1=70$, то есть $a_{70}$.

• Члену $a_{100}$ предшествует член с номером $100-1=99$, то есть $a_{99}$.

• Члену $a_{n-2}$ предшествует член с номером $(n-2)-1=n-3$, то есть $a_{n-3}$.

• Члену $a_{n+3}$ предшествует член с номером $(n+3)-1=n+2$, то есть $a_{n+2}$.

• Члену $a_{3n}$ предшествует член с номером $3n-1$, то есть $a_{3n-1}$.

Ответ: $a_{70}$, $a_{99}$, $a_{n-3}$, $a_{n+2}$, $a_{3n-1}$.

529. Перечислите члены последовательности (xₙ), которые расположены между:

а) Члены последовательности $(x_n)$, расположенные между $x_{31}$ и $x_{35}$, это те члены, порядковые номера (индексы) которых являются целыми числами, строго большими 31 и строго меньшими 35. Нам нужно найти все натуральные числа $k$, удовлетворяющие неравенству $31 < k < 35$. Этими числами являются 32, 33 и 34. Соответственно, искомые члены последовательности:

Ответ: $x_{32}, x_{33}, x_{34}$.

б) Члены последовательности $(x_n)$, расположенные между $x_n$ и $x_{n+6}$, имеют индексы $k$, которые удовлетворяют строгому неравенству $n < k < n+6$. Поскольку $n$ — натуральное число, то целочисленные индексы, следующие за $n$ и предшествующие $n+6$, будут $n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$. Таким образом, искомые члены последовательности:

Ответ: $x_{n+1}, x_{n+2}, x_{n+3}, x_{n+4}, x_{n+5}$.

в) Для членов последовательности, расположенных между $x_{n-4}$ и $x_n$, их индексы $k$ должны удовлетворять неравенству $n-4 < k < n$. При условии, что $n$ — натуральное число, достаточно большое, чтобы индекс $n-4$ был не меньше 1 (то есть $n \ge 5$), целочисленные индексы в этом интервале будут $n-3, n-2, n-1$. Следовательно, искомые члены:

Ответ: $x_{n-3}, x_{n-2}, x_{n-1}$.

г) Члены последовательности, расположенные между $x_{n-2}$ и $x_{n+2}$, имеют индексы $k$, для которых выполняется неравенство $n-2 < k < n+2$. При условии, что $n-2 \ge 1$ (то есть $n \ge 3$), целочисленными индексами в этом диапазоне являются $n-1, n, n+1$. Значит, искомые члены последовательности:

Ответ: $x_{n-1}, x_n, x_{n+1}$.

530. Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n-го члена:

а) $x_n = 2n - 1$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$

$x_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$x_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

$x_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$

$x_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$

$x_6 = 2 \cdot 6 - 1 = 12 - 1 = 11$

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

б) $x_n = n^2 + 1$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$x_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$x_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$

$x_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

$x_6 = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$

Ответ: 2, 5, 10, 17, 26, 37.

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

$x_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$

$x_4 = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$

$x_5 = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

$x_6 = \frac{6}{6+1} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}$.

г) $x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = (-1)^{1+1} \cdot 2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

$x_2 = (-1)^{2+1} \cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$

$x_3 = (-1)^{3+1} \cdot 2 = (-1)^4 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

$x_4 = (-1)^{4+1} \cdot 2 = (-1)^5 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$

$x_5 = (-1)^{5+1} \cdot 2 = (-1)^6 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

$x_6 = (-1)^{6+1} \cdot 2 = (-1)^7 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$

Ответ: 2, -2, 2, -2, 2, -2.

д) $x_n = 2^{n-3}$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = 2^{1-3} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$x_2 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$x_3 = 2^{3-3} = 2^0 = 1$

$x_4 = 2^{4-3} = 2^1 = 2$

$x_5 = 2^{5-3} = 2^2 = 4$

$x_6 = 2^{6-3} = 2^3 = 8$

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$.

е) $x_n = 0,5 \cdot 4^n$

Чтобы найти первые шесть членов последовательности, последовательно подставляем в формулу $n$-го члена значения $n$ от 1 до 6:

$x_1 = 0,5 \cdot 4^1 = 0,5 \cdot 4 = 2$

$x_2 = 0,5 \cdot 4^2 = 0,5 \cdot 16 = 8$

$x_3 = 0,5 \cdot 4^3 = 0,5 \cdot 64 = 32$

$x_4 = 0,5 \cdot 4^4 = 0,5 \cdot 256 = 128$

$x_5 = 0,5 \cdot 4^5 = 0,5 \cdot 1024 = 512$

$x_6 = 0,5 \cdot 4^6 = 0,5 \cdot 4096 = 2048$

Ответ: 2, 8, 32, 128, 512, 2048.

531. Последовательность (bₙ) задана формулой bₙ = 2n² + 3n. Найдите:

а) b₅;

б) b₁₀;

в) b₅₀.

Для решения задачи необходимо подставить соответствующий номер члена последовательности $n$ в заданную формулу $b_n = 2n^2 + 3n$.

а) Найдем $b_5$. Для этого подставим $n = 5$ в формулу:

$b_5 = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 = 2 \cdot 25 + 15 = 50 + 15 = 65$.

Ответ: 65

б) Найдем $b_{10}$. Для этого подставим $n = 10$ в формулу:

$b_{10} = 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 = 2 \cdot 100 + 30 = 200 + 30 = 230$.

Ответ: 230

в) Найдем $b_{50}$. Для этого подставим $n = 50$ в формулу:

$b_{50} = 2 \cdot 50^2 + 3 \cdot 50 = 2 \cdot 2500 + 150 = 5000 + 150 = 5150$.

Ответ: 5150

532. Последовательность (aₙ) задана формулой aₙ = n² – n – 20. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Для того чтобы найти номера отрицательных членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $a_n = n^2 - n - 20$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Составим и решим неравенство:

$n^2 - n - 20 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - n - 20 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Графиком функции $y = n^2 - n - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен. Значения функции будут отрицательными в интервале между корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $-4 < n < 5$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом. Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(-4, 5)$.

Это числа: $1, 2, 3, 4$.

Итак, номера отрицательных членов последовательности — это $1, 2, 3$ и $4$.

Теперь вычислим значения этих членов, подставляя найденные номера в формулу $a_n = n^2 - n - 20$:

При $n = 1$: $a_1 = 1^2 - 1 - 20 = 1 - 1 - 20 = -20$.

При $n = 2$: $a_2 = 2^2 - 2 - 20 = 4 - 2 - 20 = -18$.

При $n = 3$: $a_3 = 3^2 - 3 - 20 = 9 - 3 - 20 = -14$.

При $n = 4$: $a_4 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 4 - 20 = -8$.

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: $1, 2, 3, 4$. Значения этих членов: $a_1 = -20, a_2 = -18, a_3 = -14, a_4 = -8$.

533. Вычислите второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности (bₙ), если известно, что:

а) первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т. е. b₁ = 10 и bₙ ₊ ₁ = bₙ + 3;

б) первый член равен 40, а каждый следующий равен предыдущему, делённому на 2, т. е. b₁ = 40 и bₙ ₊ ₁ = $\frac{b_n}{2}$.

а)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 10$, а каждый следующий член вычисляется по рекуррентной формуле $b_{n+1} = b_n + 3$. Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=3$.
Найдём второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности, последовательно подставляя значения $n$ от 1 до 4.

Второй член ($n=1$):
$b_2 = b_1 + 3 = 10 + 3 = 13$.

Третий член ($n=2$):
$b_3 = b_2 + 3 = 13 + 3 = 16$.

Четвёртый член ($n=3$):
$b_4 = b_3 + 3 = 16 + 3 = 19$.

Пятый член ($n=4$):
$b_5 = b_4 + 3 = 19 + 3 = 22$.

Ответ: второй член равен 13, третий - 16, четвёртый - 19, пятый - 22.

б)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 40$, а каждый следующий член вычисляется по рекуррентной формуле $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.
Найдём второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности, последовательно подставляя значения $n$ от 1 до 4.

Второй член ($n=1$):
$b_2 = \frac{b_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

Третий член ($n=2$):
$b_3 = \frac{b_2}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Четвёртый член ($n=3$):
$b_4 = \frac{b_3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Пятый член ($n=4$):
$b_5 = \frac{b_4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: второй член равен 20, третий - 10, четвёртый - 5, пятый - 2,5.

534. Выпишите первые пять членов последовательности (aₙ), если:

а) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1$ и каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $a_{n+1} = a_n + 1$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$.

Найдем первые пять членов последовательности:

Первый член задан: $a_1 = 1$.

Второй член: $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Третий член: $a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3$.

Четвертый член: $a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4$.

Пятый член: $a_5 = a_4 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1000$ и каждый последующий член определяется по формуле $a_{n+1} = 0,1a_n$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=0,1$.

Найдем первые пять членов последовательности:

Первый член задан: $a_1 = 1000$.

Второй член: $a_2 = 0,1 \cdot a_1 = 0,1 \cdot 1000 = 100$.

Третий член: $a_3 = 0,1 \cdot a_2 = 0,1 \cdot 100 = 10$.

Четвертый член: $a_4 = 0,1 \cdot a_3 = 0,1 \cdot 10 = 1$.

Пятый член: $a_5 = 0,1 \cdot a_4 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 1000, 100, 10, 1, 0,1.

Ответ: 1000, 100, 10, 1, 0,1.

в) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 16$ и каждый последующий член определяется по формуле $a_{n+1} = -0,5a_n$. Эта последовательность является знакочередующейся геометрической прогрессией со знаменателем $q=-0,5$.

Найдем первые пять членов последовательности:

Первый член задан: $a_1 = 16$.

Второй член: $a_2 = -0,5 \cdot a_1 = -0,5 \cdot 16 = -8$.

Третий член: $a_3 = -0,5 \cdot a_2 = -0,5 \cdot (-8) = 4$.

Четвертый член: $a_4 = -0,5 \cdot a_3 = -0,5 \cdot 4 = -2$.

Пятый член: $a_5 = -0,5 \cdot a_4 = -0,5 \cdot (-2) = 1$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 16, -8, 4, -2, 1.

Ответ: 16, -8, 4, -2, 1.

г) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 3$ и каждый последующий член определяется по формуле $a_{n+1} = a_n^{-1}$, что эквивалентно $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$.

Найдем первые пять членов последовательности:

Первый член задан: $a_1 = 3$.

Второй член: $a_2 = a_1^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Третий член: $a_3 = a_2^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

Четвертый член: $a_4 = a_3^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Пятый член: $a_5 = a_4^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

Эта последовательность является периодической с периодом 2, ее члены поочередно принимают значения 3 и $\frac{1}{3}$.

Ответ: 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.

535. Выпишите первые четыре члена последовательности (bₙ), если:

а)

Дана последовательность $(b_n)$, где первый член $b_1 = 5$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $b_{n+1} = b_n + 5$. Это означает, что для нахождения следующего члена последовательности нужно к предыдущему члену прибавить 5. Данная последовательность является арифметической прогрессией.

Выпишем первые четыре члена последовательности:

Первый член уже известен: $b_1 = 5$.

Для нахождения второго члена ($b_2$) подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_2 = b_1 + 5 = 5 + 5 = 10$.

Для нахождения третьего члена ($b_3$) подставим $n=2$:

$b_3 = b_2 + 5 = 10 + 5 = 15$.

Для нахождения четвертого члена ($b_4$) подставим $n=3$:

$b_4 = b_3 + 5 = 15 + 5 = 20$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 10, 15, 20.

Ответ: 5, 10, 15, 20.

б)

Дана последовательность $(b_n)$, где первый член $b_1 = 5$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $b_{n+1} = b_n \cdot 5$. Это означает, что для нахождения следующего члена последовательности нужно предыдущий член умножить на 5. Данная последовательность является геометрической прогрессией.

Выпишем первые четыре члена последовательности:

Первый член уже известен: $b_1 = 5$.

Для нахождения второго члена ($b_2$) подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_2 = b_1 \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$.

Для нахождения третьего члена ($b_3$) подставим $n=2$:

$b_3 = b_2 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Для нахождения четвертого члена ($b_4$) подставим $n=3$:

$b_4 = b_3 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 25, 125, 625.

Ответ: 5, 25, 125, 625.

536. Найдите пару положительных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению x² + y² = 45, если известно, что y вдвое больше x.

Для решения задачи составим систему уравнений на основе данных условий.

Первое уравнение задано в условии:

$x^2 + y^2 = 45$

Второе условие гласит, что число $y$ вдвое больше числа $x$. Математически это записывается как:

$y = 2x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем решить ее методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x)^2 = 45$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x^2 = 45$

$5x^2 = 45$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x^2$:

$x^2 = \frac{45}{5}$

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Согласно условию задачи, мы ищем пару положительных чисел, поэтому выбираем значение $x = 3$.

Теперь, зная $x$, найдем соответствующее значение $y$, используя уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot 3 = 6$

Мы получили пару чисел $x = 3$ и $y = 6$. Оба числа являются положительными. Проверим, удовлетворяют ли они исходному уравнению $x^2 + y^2 = 45$:

$3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$45 = 45$

Равенство верно, следовательно, найденная пара чисел является решением.

Ответ: $x=3$, $y=6$.

537. Решите уравнение:

а) 4x⁴ + 4x² – 15 = 0;

б) 2x⁴ – x² – 36 = 0.

а) $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Заменим $x^2$ на $y$ и $x^4$ на $y^2$ в исходном уравнении:

$4y^2 + 4y - 15 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 < 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $y_2 = 1.5$ удовлетворяет условию, так как $1.5 > 0$.

Выполним обратную замену для найденного корня:

$x^2 = y_2$

$x^2 = \frac{3}{2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) $2x^4 - x^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2t^2 - t - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 4.5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t_2$:

$x^2 = t_2$

$x^2 = \frac{9}{2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

538. Решите неравенство:

а) x² + x – 42 ≤ 0;

б) (x + 11)(x + 4)(x – 1) › 0.

а) $x^2 + x - 42 \le 0$
Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит между корнями уравнения, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является отрезок от -7 до 6.
Ответ: $[-7; 6]$.

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов.
Сначала найдем нули выражения, стоящего в левой части, приравняв его к нулю:
$(x + 11)(x + 4)(x - 1) = 0$
Корнями являются $x_1 = -11$, $x_2 = -4$, $x_3 = 1$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; -4)$, $(-4; 1)$ и $(1; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 2$:
$(2 + 11)(2 + 4)(2 - 1) = 13 \cdot 6 \cdot 1 = 78$, что больше нуля. Значит, на интервале $(1; +\infty)$ выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную степень (в данном случае 1), то при переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный. Расставим знаки на интервалах справа налево: +, -, +, -.
Нам нужно найти промежутки, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак «+».
Это интервалы $(-11; -4)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $(-11; -4) \cup (1; +\infty)$.