Страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

540. Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии (aₙ), если:

а) По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член получается прибавлением разности $d$ к предыдущему члену по формуле $a_{n+1} = a_n + d$.
При заданных $a_1 = 10$ и $d = 4$ найдем первые пять членов:
$a_1 = 10$
$a_2 = a_1 + d = 10 + 4 = 14$
$a_3 = a_2 + d = 14 + 4 = 18$
$a_4 = a_3 + d = 18 + 4 = 22$
$a_5 = a_4 + d = 22 + 4 = 26$
Ответ: 10; 14; 18; 22; 26.

б) При заданных $a_1 = 30$ и $d = -10$ найдем первые пять членов:
$a_1 = 30$
$a_2 = a_1 + d = 30 + (-10) = 20$
$a_3 = a_2 + d = 20 + (-10) = 10$
$a_4 = a_3 + d = 10 + (-10) = 0$
$a_5 = a_4 + d = 0 + (-10) = -10$
Ответ: 30; 20; 10; 0; -10.

в) При заданных $a_1 = 1,7$ и $d = -0,2$ найдем первые пять членов:
$a_1 = 1,7$
$a_2 = a_1 + d = 1,7 + (-0,2) = 1,5$
$a_3 = a_2 + d = 1,5 + (-0,2) = 1,3$
$a_4 = a_3 + d = 1,3 + (-0,2) = 1,1$
$a_5 = a_4 + d = 1,1 + (-0,2) = 0,9$
Ответ: 1,7; 1,5; 1,3; 1,1; 0,9.

г) При заданных $a_1 = -3,5$ и $d = 0,6$ найдем первые пять членов:
$a_1 = -3,5$
$a_2 = a_1 + d = -3,5 + 0,6 = -2,9$
$a_3 = a_2 + d = -2,9 + 0,6 = -2,3$
$a_4 = a_3 + d = -2,3 + 0,6 = -1,7$
$a_5 = a_4 + d = -1,7 + 0,6 = -1,1$
Ответ: -3,5; -2,9; -2,3; -1,7; -1,1.

541. Изобразите точками на числовой оси члены арифметической прогрессии, заданной формулой:

а) aₙ = –10 + 2n;

б) aₙ = 8 – 3n.

Чтобы изобразить члены арифметической прогрессии на числовой оси, сначала найдем значения нескольких первых членов. Прогрессия задана формулой $a_n = -10 + 2n$.

Вычислим первые члены прогрессии, подставляя натуральные числа $n=1, 2, 3, \dots$ в формулу:

При $n=1$: $a_1 = -10 + 2 \cdot 1 = -10 + 2 = -8$.
При $n=2$: $a_2 = -10 + 2 \cdot 2 = -10 + 4 = -6$.
При $n=3$: $a_3 = -10 + 2 \cdot 3 = -10 + 6 = -4$.
При $n=4$: $a_4 = -10 + 2 \cdot 4 = -10 + 8 = -2$.
При $n=5$: $a_5 = -10 + 2 \cdot 5 = -10 + 10 = 0$.
При $n=6$: $a_6 = -10 + 2 \cdot 6 = -10 + 12 = 2$.

Мы получили последовательность чисел: $-8, -6, -4, -2, 0, 2, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -8$ и разностью $d = 2$. Теперь изобразим эти числа точками на числовой оси.

Ответ:

Аналогично поступим для прогрессии, заданной формулой $a_n = 8 - 3n$.

Вычислим первые члены прогрессии, подставляя натуральные числа $n=1, 2, 3, \dots$ в формулу:

При $n=1$: $a_1 = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5$.
При $n=2$: $a_2 = 8 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$.
При $n=3$: $a_3 = 8 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1$.
При $n=4$: $a_4 = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4$.
При $n=5$: $a_5 = 8 - 3 \cdot 5 = 8 - 15 = -7$.
При $n=6$: $a_6 = 8 - 3 \cdot 6 = 8 - 18 = -10$.

Мы получили последовательность чисел: $5, 2, -1, -4, -7, -10, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = -3$. Изобразим эти числа точками на числовой оси.

Ответ:

542. Последовательность (bₙ) — арифметическая прогрессия, первый член которой равен b₁, а разность равна d. Выразите через b₁ и d:

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

а) Чтобы выразить $b_7$, подставляем в формулу $n=7$:
$b_7 = b_1 + (7-1)d = b_1 + 6d$.
Ответ: $b_7 = b_1 + 6d$.

б) Чтобы выразить $b_{26}$, подставляем в формулу $n=26$:
$b_{26} = b_1 + (26-1)d = b_1 + 25d$.
Ответ: $b_{26} = b_1 + 25d$.

в) Чтобы выразить $b_{231}$, подставляем в формулу $n=231$:
$b_{231} = b_1 + (231-1)d = b_1 + 230d$.
Ответ: $b_{231} = b_1 + 230d$.

г) Чтобы выразить $b_k$, подставляем в формулу $n=k$:
$b_k = b_1 + (k-1)d$.
Ответ: $b_k = b_1 + (k-1)d$.

д) Чтобы выразить $b_{k+5}$, подставляем в формулу $n=k+5$:
$b_{k+5} = b_1 + ((k+5)-1)d = b_1 + (k+4)d$.
Ответ: $b_{k+5} = b_1 + (k+4)d$.

е) Чтобы выразить $b_{2k}$, подставляем в формулу $n=2k$:
$b_{2k} = b_1 + (2k-1)d$.
Ответ: $b_{2k} = b_1 + (2k-1)d$.

543. Последовательность (cₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите:

а)

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $c_n = c_1 + (n-1)d$, где $c_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – номер искомого члена.

По условию задачи даны: $c_1 = 20$ и $d = 3$. Требуется найти пятый член прогрессии, то есть $n=5$.

Подставим известные значения в формулу:

$c_5 = c_1 + (5-1)d$

$c_5 = 20 + 4 \cdot 3$

$c_5 = 20 + 12$

$c_5 = 32$

Ответ: 32.

б)

Используем ту же формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

В данном случае нам известны: $c_1 = 5,8$ и $d = -1,5$. Нам нужно найти двадцать первый член прогрессии, следовательно, $n=21$.

Подставим значения в формулу:

$c_{21} = c_1 + (21-1)d$

$c_{21} = 5,8 + 20 \cdot (-1,5)$

$c_{21} = 5,8 - 30$

$c_{21} = -24,2$

Ответ: -24,2.

544. Последовательность (aₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите:

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

а) Нам нужно найти одиннадцатый член прогрессии, $a_{11}$.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = -3$, а разность $d = 0,7$.

Подставим эти значения в формулу для $n=11$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

$a_{11} = -3 + 10 \cdot 0,7 = -3 + 7 = 4$

Ответ: 4.

б) Нам нужно найти двадцать шестой член прогрессии, $a_{26}$.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = 18$, а разность $d = -0,6$.

Подставим эти значения в формулу для $n=26$:

$a_{26} = a_1 + (26-1)d = a_1 + 25d$

$a_{26} = 18 + 25 \cdot (-0,6) = 18 - 15 = 3$

Ответ: 3.

545. Найдите десятый и n-й члены арифметической прогрессии:

а)

Дана арифметическая прогрессия $ (a_n) $, у которой $ a_1 = \frac{1}{3} $ и $ a_2 = -1 $.

Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $, где $ a_1 $ — первый член прогрессии, $ d $ — её разность, а $ n $ — номер члена.

1. Сначала найдём разность прогрессии $ d $ как разницу между вторым и первым членами:
$ d = a_2 - a_1 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $.

2. Теперь найдём десятый член прогрессии, подставив $ n=10 $, $ a_1 = \frac{1}{3} $ и $ d = -\frac{4}{3} $ в формулу:
$ a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d $
$ a_{10} = \frac{1}{3} + 9 \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{9 \cdot 4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{36}{3} = -\frac{35}{3} $.

Для удобства можно представить ответ в виде смешанной дроби: $ -\frac{35}{3} = -11\frac{2}{3} $.

3. Найдём n-й член прогрессии, подставив в формулу значения $ a_1 $ и $ d $:
$ a_n = \frac{1}{3} + (n-1)(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}(n-1) = \frac{1}{3} - \frac{4n}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1+4-4n}{3} = \frac{5-4n}{3} $.

Ответ: $ a_{10} = -11\frac{2}{3} $; $ a_n = \frac{5-4n}{3} $.

б)

Дана арифметическая прогрессия $ (a_n) $, у которой $ a_1 = 2,3 $ и $ a_2 = 1 $.

Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $.

1. Сначала найдём разность прогрессии $ d $:
$ d = a_2 - a_1 = 1 - 2,3 = -1,3 $.

2. Теперь найдём десятый член прогрессии, подставив $ n=10 $, $ a_1 = 2,3 $ и $ d = -1,3 $ в формулу:
$ a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d $
$ a_{10} = 2,3 + 9 \cdot (-1,3) = 2,3 - 11,7 = -9,4 $.

3. Найдём n-й член прогрессии, подставив в формулу значения $ a_1 $ и $ d $:
$ a_n = 2,3 + (n-1)(-1,3) = 2,3 - 1,3n + 1,3 = (2,3 + 1,3) - 1,3n = 3,6 - 1,3n $.

Ответ: $ a_{10} = -9,4 $; $ a_n = 3,6 - 1,3n $.

546. Найдите двадцать третий и n-й члены арифметической прогрессии:

а) –8; –6,5; … ;

б) 11; 7; … .

а) Дана арифметическая прогрессия: $-8; -6,5; ...$

Чтобы найти двадцать третий и n-й члены, сначала определим первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член прогрессии: $a_1 = -8$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = -6,5 - (-8) = -6,5 + 8 = 1,5$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдем двадцать третий член прогрессии, подставив $n = 23$ в формулу:

$a_{23} = a_1 + (23-1)d = -8 + 22 \cdot 1,5 = -8 + 33 = 25$.

Теперь найдем формулу для n-го члена данной прогрессии, подставив значения $a_1$ и $d$:

$a_n = -8 + (n-1) \cdot 1,5 = -8 + 1,5n - 1,5 = 1,5n - 9,5$.

Ответ: $a_{23} = 25$; $a_n = 1,5n - 9,5$.

б) Дана арифметическая прогрессия: $11; 7; ...$

Определим первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член прогрессии: $a_1 = 11$.

Разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7 - 11 = -4$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдем двадцать третий член прогрессии ($n = 23$):

$a_{23} = a_1 + (23-1)d = 11 + 22 \cdot (-4) = 11 - 88 = -77$.

Теперь найдем формулу для n-го члена данной прогрессии:

$a_n = 11 + (n-1) \cdot (-4) = 11 - 4n + 4 = 15 - 4n$.

Ответ: $a_{23} = -77$; $a_n = 15 - 4n$.

547. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду — на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Расстояние, которое тело проходит за каждую последующую секунду, образует арифметическую прогрессию. В этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1$ — это расстояние, пройденное за первую секунду, то есть $a_1 = 7$ м.
• Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую увеличивается расстояние каждую секунду, то есть $d = 3$ м.

Нам нужно найти расстояние, которое тело прошло за восьмую секунду. Это соответствует восьмому члену арифметической прогрессии, $a_8$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу наши значения, где $n=8$: $a_8 = a_1 + (8-1)d$ $a_8 = 7 + (7) \cdot 3$ $a_8 = 7 + 21$ $a_8 = 28$

Таким образом, за восьмую секунду тело прошло 28 метров.

Ответ: 28 м.

548. Поезд, отойдя от станции, стал двигаться, увеличивая скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце двадцатой минуты?

По условию задачи, поезд начинает движение от станции, следовательно, его начальная скорость равна нулю. Каждую минуту скорость поезда увеличивается на постоянную величину, равную 50 метров в минуту. Это означает, что поезд движется с постоянным ускорением.

Чтобы найти скорость поезда в конце двадцатой минуты, нужно общее время движения умножить на величину увеличения скорости за одну минуту (то есть на ускорение).

Скорость ($v$) можно найти по формуле для равноускоренного движения без начальной скорости:$v = a \times t$, где $a$ — ускорение (ежеминутное увеличение скорости), а $t$ — время движения.

Подставим данные из условия задачи:

$a = 50 \, \frac{\text{м}}{\text{мин}^2}$

$t = 20 \, \text{мин}$

Выполним расчет:

$v = 50 \, \frac{\text{м}}{\text{мин}} \times 20 \, \text{мин} = 1000 \, \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Таким образом, скорость поезда в конце двадцатой минуты будет 1000 метров в минуту.

Ответ: 1000 м/мин.

549. (Для работы в парах.) На стороне ОА угла АОВ от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые (рис. 68). Длина отрезка А₁В₁ равна 1,5 см. Найдите длину отрезка:

а) А₅В₅;

б) А₁₀В₁₀.

1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для решения этой задачи используется теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) или свойство подобных треугольников. Рассмотрим второй способ, так как он позволяет напрямую найти длины искомых отрезков.

По условию, на стороне $OA$ угла $AOB$ отложены равные отрезки $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$. Обозначим длину каждого из этих отрезков как $x$.

Тогда длина отрезка от вершины угла $O$ до точки $A_n$ будет равна:

$OA_n = n \cdot x$

Например:

• $OA_1 = 1 \cdot x = x$
• $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = x + x = 2x$
• $OA_5 = 5x$
• $OA_{10} = 10x$

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$ для любого $n$.

1. У них есть общий угол $\angle AOB$.
2. Поскольку по условию прямые $A_1B_1$ и $A_nB_n$ параллельны, то углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_nB_n$ равны как соответственные при параллельных прямых $A_1B_1, A_nB_n$ и секущей $OA$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. В частности, отношение оснований равно отношению боковых сторон:

$\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1}$

Подставим выражение для $OA_n$:

$\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{n \cdot x}{x} = n$

Отсюда получаем общую формулу для вычисления длины любого отрезка $A_nB_n$:

$A_nB_n = n \cdot A_1B_1$

Используем эту формулу для решения пунктов задачи, зная, что $A_1B_1 = 1,5$ см.

Для нахождения длины отрезка $A_5B_5$ возьмем $n=5$.

Применяем выведенную формулу:

$A_5B_5 = 5 \cdot A_1B_1 = 5 \cdot 1,5 = 7,5$ см.

Ответ: $7,5$ см.

Для нахождения длины отрезка $A_{10}B_{10}$ возьмем $n=10$.

Применяем выведенную формулу:

$A_{10}B_{10} = 10 \cdot A_1B_1 = 10 \cdot 1,5 = 15$ см.

Ответ: $15$ см.