Номер 545, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 545, страница 157.

Условие.

545. Найдите десятый и n-й члены арифметической прогрессии:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана арифметическая прогрессия $ (a_n) $, у которой $ a_1 = \frac{1}{3} $ и $ a_2 = -1 $.

Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $, где $ a_1 $ — первый член прогрессии, $ d $ — её разность, а $ n $ — номер члена.

1. Сначала найдём разность прогрессии $ d $ как разницу между вторым и первым членами:
$ d = a_2 - a_1 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $.

2. Теперь найдём десятый член прогрессии, подставив $ n=10 $, $ a_1 = \frac{1}{3} $ и $ d = -\frac{4}{3} $ в формулу:
$ a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d $
$ a_{10} = \frac{1}{3} + 9 \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{9 \cdot 4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{36}{3} = -\frac{35}{3} $.

Для удобства можно представить ответ в виде смешанной дроби: $ -\frac{35}{3} = -11\frac{2}{3} $.

3. Найдём n-й член прогрессии, подставив в формулу значения $ a_1 $ и $ d $:
$ a_n = \frac{1}{3} + (n-1)(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}(n-1) = \frac{1}{3} - \frac{4n}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1+4-4n}{3} = \frac{5-4n}{3} $.

Ответ: $ a_{10} = -11\frac{2}{3} $; $ a_n = \frac{5-4n}{3} $.

б)

Дана арифметическая прогрессия $ (a_n) $, у которой $ a_1 = 2,3 $ и $ a_2 = 1 $.

Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $.

1. Сначала найдём разность прогрессии $ d $:
$ d = a_2 - a_1 = 1 - 2,3 = -1,3 $.

2. Теперь найдём десятый член прогрессии, подставив $ n=10 $, $ a_1 = 2,3 $ и $ d = -1,3 $ в формулу:
$ a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d $
$ a_{10} = 2,3 + 9 \cdot (-1,3) = 2,3 - 11,7 = -9,4 $.

3. Найдём n-й член прогрессии, подставив в формулу значения $ a_1 $ и $ d $:
$ a_n = 2,3 + (n-1)(-1,3) = 2,3 - 1,3n + 1,3 = (2,3 + 1,3) - 1,3n = 3,6 - 1,3n $.

Ответ: $ a_{10} = -9,4 $; $ a_n = 3,6 - 1,3n $.