Номер 549, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии - номер 549, страница 157.

Условие.

549. (Для работы в парах.) На стороне ОА угла АОВ от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые (рис. 68). Длина отрезка А₁В₁ равна 1,5 см. Найдите длину отрезка:

а) А₅В₅;

б) А₁₀В₁₀.

1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи используется теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) или свойство подобных треугольников. Рассмотрим второй способ, так как он позволяет напрямую найти длины искомых отрезков.

По условию, на стороне $OA$ угла $AOB$ отложены равные отрезки $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$. Обозначим длину каждого из этих отрезков как $x$.

Тогда длина отрезка от вершины угла $O$ до точки $A_n$ будет равна:

$OA_n = n \cdot x$

Например:

• $OA_1 = 1 \cdot x = x$
• $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = x + x = 2x$
• $OA_5 = 5x$
• $OA_{10} = 10x$

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$ для любого $n$.

1. У них есть общий угол $\angle AOB$.
2. Поскольку по условию прямые $A_1B_1$ и $A_nB_n$ параллельны, то углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_nB_n$ равны как соответственные при параллельных прямых $A_1B_1, A_nB_n$ и секущей $OA$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. В частности, отношение оснований равно отношению боковых сторон:

$\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1}$

Подставим выражение для $OA_n$:

$\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{n \cdot x}{x} = n$

Отсюда получаем общую формулу для вычисления длины любого отрезка $A_nB_n$:

$A_nB_n = n \cdot A_1B_1$

Используем эту формулу для решения пунктов задачи, зная, что $A_1B_1 = 1,5$ см.

а)

Для нахождения длины отрезка $A_5B_5$ возьмем $n=5$.

Применяем выведенную формулу:

$A_5B_5 = 5 \cdot A_1B_1 = 5 \cdot 1,5 = 7,5$ см.

Ответ: $7,5$ см.

б)

Для нахождения длины отрезка $A_{10}B_{10}$ возьмем $n=10$.

Применяем выведенную формулу:

$A_{10}B_{10} = 10 \cdot A_1B_1 = 10 \cdot 1,5 = 15$ см.

Ответ: $15$ см.