Номер 554, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

554. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1?

1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что $\frac{n-1}{m-1}=\frac{8}{23}$.

2) Полагая, что n – 1 = 8k и m – 1 = 23k, где k ∈ N, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.

3) Объясните, почему значение k = 1 приводит к противоречию с условием задачи.

1)

Предположим, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии $(a_k)$, у которой первый член $a_1 = 12$ и разность $d \neq 1$. Пусть 20 — это $n$-й член прогрессии ($a_n = 20$), а 35 — это $m$-й член прогрессии ($a_m = 35$). Используем формулу $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

Для члена, равного 20, получаем уравнение: $a_n = a_1 + (n-1)d$, то есть $20 = 12 + (n-1)d$. Отсюда следует, что $(n-1)d = 20 - 12 = 8$.

Для члена, равного 35, получаем уравнение: $a_m = a_1 + (m-1)d$, то есть $35 = 12 + (m-1)d$. Отсюда следует, что $(m-1)d = 35 - 12 = 23$.

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений: $(n-1)d = 8$ и $(m-1)d = 23$. Поскольку числа 20 и 35 не равны первому члену 12, то разность прогрессии $d$ не может быть равна нулю ($d \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить первое уравнение на второе: $\frac{(n-1)d}{(m-1)d} = \frac{8}{23}$

Сократив на $d$, докажем требуемое соотношение: $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$

Ответ: Выражения для 20 и 35 через $d$, $n$ и $m$: $20 = 12 + (n-1)d$ и $35 = 12 + (m-1)d$. Доказательство: из этих выражений следует, что $(n-1)d=8$ и $(m-1)d=23$. Деление одного равенства на другое дает $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2)

Из соотношения $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$ и того факта, что дробь $\frac{8}{23}$ несократима (числа 8 и 23 взаимно простые), следует, что $n-1$ и $m-1$ должны быть кратны 8 и 23 соответственно, с одним и тем же коэффициентом. То есть, существует такое натуральное число $k \in \mathbb{N}$ (так как $n, m > 1$), что $n-1 = 8k$ и $m-1 = 23k$.

Отсюда выражаем $n$ и $m$ через $k$: $n = 8k + 1$ и $m = 23k + 1$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$. Подставим $n-1 = 8k$ в уравнение $(n-1)d = 8$, полученное в первом пункте. Получаем $8k \cdot d = 8$, откуда $d = \frac{1}{k}$.

По условию задачи, разность прогрессии не равна 1, то есть $d \neq 1$. Это означает, что $\frac{1}{k} \neq 1$, откуда $k \neq 1$. Таким образом, чтобы получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию, мы можем выбрать любое натуральное значение $k$, большее 1 (например, $k=2, 3, 4, ...$).

В качестве примера проведем вычисления для $k=2$:

• Разность прогрессии: $d = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$. Это удовлетворяет условию $d \neq 1$.
• Номер члена, равного 20: $n = 8k + 1 = 8(2) + 1 = 17$.
• Номер члена, равного 35: $m = 23k + 1 = 23(2) + 1 = 47$.

Проверим: прогрессия с $a_1 = 12$ и $d = 1/2$ действительно содержит эти числа на указанных позициях. $a_{17} = 12 + (17-1) \cdot \frac{1}{2} = 12 + 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 8 = 20$. $a_{47} = 12 + (47-1) \cdot \frac{1}{2} = 12 + 46 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 23 = 35$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $n=8k+1$ и $m=23k+1$. Выбрав любое натуральное число $k > 1$, можно найти соответствующую прогрессию. Например, при $k=2$ получаем прогрессию с $a_1=12$, $d=1/2$, в которой 20 является 17-м членом, а 35 — 47-м.

3)

Рассмотрим случай, когда $k=1$. Используя формулу для разности $d=\frac{1}{k}$, полученную в пункте 2, найдем значение $d$: $d = \frac{1}{1} = 1$.

Однако в условии задачи прямо указано, что разность прогрессии не должна быть равна 1 ($d \neq 1$).

Следовательно, значение $k=1$ приводит к прямому противоречию с условием задачи и поэтому является недопустимым.

Ответ: Значение $k=1$ приводит к разности прогрессии $d=1$, что противоречит условию задачи, в котором указано, что разность не равна 1.