Номер 555, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 555, страница 158.

Условие.

555. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (cₙ), если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $(c_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.

Подставим эти значения в формулу n-го члена и получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $c_1$ и $d$:

$\begin{cases} c_1 + (5-1)d = 27 \\ c_1 + (27-1)d = 60 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} c_1 + 4d = 27 \\ c_1 + 26d = 60 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$

$22d = 33$

$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$c_1 + 4 \cdot 1,5 = 27$

$c_1 + 6 = 27$

$c_1 = 27 - 6 = 21$

Таким образом, первый член прогрессии равен 21, а разность равна 1,5.

Ответ: $c_1 = 21$, $d = 1,5$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны: $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} c_1 + (20-1)d = 0 \\ c_1 + (66-1)d = -92 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} c_1 + 19d = 0 \\ c_1 + 65d = -92 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$

$46d = -92$

$d = \frac{-92}{46} = -2$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы (из него $c_1 = -19d$):

$c_1 = -19 \cdot (-2)$

$c_1 = 38$

Таким образом, первый член прогрессии равен 38, а разность равна -2.

Ответ: $c_1 = 38$, $d = -2$.