Номер 562, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 562, страница 159.

Условие.

562. Известно, что числа a², b², c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Поскольку по условию числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Запишем это в виде равенства:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(b-a)(b+a) = (c-b)(c+b)$

Это основное соотношение, которое следует из условия задачи.

Теперь нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что для них выполняется аналогичное свойство, то есть:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Таким образом, равенство, которое нам нужно доказать, принимает вид:

$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Предполагая, что знаменатели не равны нулю (что необходимо для существования самих чисел последовательности), мы можем выполнить преобразования. Умножим обе части на $(a+c)(b+c)(a+b)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$

Снова применим формулу разности квадратов, но в обратном порядке:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Мы получили исходное равенство, которое является верным по условию задачи. Поскольку все наши преобразования были эквивалентными, то и равенство, доказывающее, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ образуют арифметическую прогрессию, также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование условия того, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ являются членами арифметической прогрессии, приводит к равенству $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$, которое является истинным по условию задачи.