Номер 565, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

565. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 2, \\ x^2 - y^2 = -12. \end{cases} $

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из первого, более простого (линейного) уравнения выразим переменную y через x.

$3x + y = 2 \implies y = 2 - 3x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 - (2 - 3x)^2 = -12$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2) = -12$

$x^2 - (4 - 12x + 9x^2) = -12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 + 12x - 9x^2 = -12$

$-8x^2 + 12x - 4 = -12$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$-8x^2 + 12x - 4 + 12 = 0$

$-8x^2 + 12x + 8 = 0$

Для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части уравнения на -4:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Мы нашли два значения для переменной x. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение y, подставив их в выражение $y = 2 - 3x$.

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4$

Первая пара решений: $(2; -4)$.

2. При $x_2 = -\frac{1}{2}$:

$y_2 = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Вторая пара решений: $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.

Проведем проверку, подставив найденные пары чисел в исходную систему уравнений.
Для пары $(2; -4)$:
$3(2) + (-4) = 6 - 4 = 2$
$(2)^2 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12$
Оба равенства верны, решение корректно.

Для пары $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$:
$3(-\frac{1}{2}) + \frac{7}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$(-\frac{1}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{49}{4} = -\frac{48}{4} = -12$
Оба равенства верны, решение корректно.

Ответ: $(2; -4)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.