Номер 564, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 564, страница 159.

Условие.

564. Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) вычисляется по формуле $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество сторон, и $n \ge 3$.

Рассматриваемая последовательность образована значениями $S_n$ для $n = 3, 4, 5, \dots$. Обозначим член последовательности, соответствующий многоугольнику с $n$ сторонами, как $a_n$. Таким образом, общий член последовательности имеет вид:

$a_n = S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$.

Согласно определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом является постоянной величиной (константой). Найдём эту разность $d$.

Возьмём два соседних члена последовательности: $a_n$ (для $n$-угольника) и $a_{n+1}$ (для $(n+1)$-угольника).

Сумма углов $(n+1)$-угольника: $a_{n+1} = 180^\circ \cdot ((n+1) - 2) = 180^\circ \cdot (n-1)$.

Сумма углов $n$-угольника: $a_n = 180^\circ \cdot (n-2)$.

Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = 180^\circ \cdot (n-1) - 180^\circ \cdot (n-2)$

$d = 180^\circ \cdot [(n-1) - (n-2)]$

$d = 180^\circ \cdot (n - 1 - n + 2)$

$d = 180^\circ \cdot 1 = 180^\circ$

Поскольку разность $d$ между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна $180^\circ$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Доказано.

Чему равна её разность?

Разностью арифметической прогрессии называется постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Как было вычислено в ходе доказательства выше, эта разность $d$ равна $180^\circ$.

Ответ: Разность прогрессии равна $180^\circ$.