Номер 568, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

568. Найдите значение выражения:

а) $125^{-1} \cdot 25^2$

Чтобы найти значение выражения, приведем все его части к общему основанию. В данном случае это 5, так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^3)^{-1} = 5^{3 \cdot (-1)} = 5^{-3}$

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь наше выражение выглядит так:

$5^{-3} \cdot 5^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-3+4} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

б) $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2}$

Приведем все множители к основанию 10. Мы знаем, что $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$ и $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Подставим эти значения в выражение:

$10^{-4} \cdot (10^3)^2 \cdot (10^{-1})^{-2}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$

$(10^{-1})^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^2$

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^2$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-4+6+2} = 10^4 = 10000$

Ответ: 10000

в) $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8}$

Приведем все числа в выражении к основанию 2. Нам известно, что $16 = 2^4$, $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{(2^4)^{-3} \cdot (2^2)^5}{2^3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя:

$\frac{2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^3} = \frac{2^{-12} \cdot 2^{10}}{2^3}$

Теперь в числителе используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{-12+10}}{2^3} = \frac{2^{-2}}{2^3}$

Для деления степеней с одинаковым основанием используется свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-2-3} = 2^{-5}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

г) $9^4 \cdot (\frac{1}{27})^{-3} \cdot 81^{-4}$

Для упрощения этого выражения приведем все основания к числу 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$, $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.

Представим $\frac{1}{27}$ как степень числа 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:

$(3^2)^4 \cdot (3^{-3})^{-3} \cdot (3^4)^{-4}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{(-3) \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-4)} = 3^8 \cdot 3^9 \cdot 3^{-16}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:

$3^{8+9-16} = 3^{17-16} = 3^1 = 3$

Ответ: 3