Номер 561, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 561, страница 159.

Условие.

561. Докажите, что если числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a² + ab + b², a² + ac + c² и b² + bc + c² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Основное свойство трех последовательных членов арифметической прогрессии заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Для чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается в виде формулы:

$b = \frac{a+c}{2}$

Умножив обе части на 2, получим эквивалентное равенство, которое будет удобно использовать в дальнейшем:

$2b = a+c$

Теперь нам нужно доказать, что числа $x_1 = a^2 + ab + b^2$, $x_2 = a^2 + ac + c^2$ и $x_3 = b^2 + bc + c^2$ также образуют арифметическую прогрессию. Для этого достаточно доказать, что для этих трех чисел выполняется то же свойство, а именно, что второй член равен среднему арифметическому первого и третьего:

$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$

Или, в более удобной форме:

$2x_2 = x_1 + x_3$

Подставим в это равенство выражения для $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и выполним преобразования.

Вычислим левую часть равенства:

$2x_2 = 2(a^2 + ac + c^2) = 2a^2 + 2ac + 2c^2$

Вычислим правую часть равенства:

$x_1 + x_3 = (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)$

$x_1 + x_3 = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_1 + x_3 = a^2 + c^2 + ab + bc + 2b^2 = a^2 + c^2 + b(a+c) + 2b^2$

Теперь приравняем левую и правую части и посмотрим, сведется ли равенство к тождеству, используя условие $2b = a+c$.

$2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + c^2 + b(a+c) + 2b^2$

Перенесем некоторые слагаемые из правой части в левую:

$(2a^2 - a^2) + 2ac + (2c^2 - c^2) = b(a+c) + 2b^2$

$a^2 + 2ac + c^2 = b(a+c) + 2b^2$

В левой части мы видим формулу квадрата суммы $(a+c)^2$:

$(a+c)^2 = b(a+c) + 2b^2$

Теперь используем исходное условие $a+c = 2b$, подставляя его в обе части нашего равенства:

$(2b)^2 = b(2b) + 2b^2$

$4b^2 = 2b^2 + 2b^2$

$4b^2 = 4b^2$

Мы получили верное тождество. Это означает, что равенство $2x_2 = x_1 + x_3$ истинно, если числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Следовательно, числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.