Номер 574, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

574. Найдите:

а) сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n;

б) сумму 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n – 1.

а) Нам нужно найти сумму $S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$.

Слагаемые этой суммы образуют арифметическую прогрессию, в которой:

• первый член $a_1 = 2$;
• разность прогрессии $d = 2$;
• последний, $k$-й член прогрессии $a_k = 2n$.

Сначала определим количество слагаемых $k$ в этой сумме. Воспользуемся формулой $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

$2n = 2 + (k-1) \cdot 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n = 1 + k - 1$

$n = k$

Таким образом, в сумме ровно $n$ слагаемых.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_a = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = n(n+1)$.

Альтернативный способ:

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S_a = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)$.

В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Тогда сумма равна:

$S_a = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Ответ: $n(n+1)$.

б) Нам нужно найти сумму $S_b = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$.

Слагаемые этой суммы также образуют арифметическую прогрессию, в которой:

• первый член $b_1 = 1$;
• разность прогрессии $d = 2$;
• последний, $k$-й член прогрессии $b_k = 2n - 1$.

Определим количество слагаемых $k$. Используем формулу $k$-го члена: $b_k = b_1 + (k-1)d$.

$2n - 1 = 1 + (k-1) \cdot 2$

$2n - 2 = 2(k - 1)$

Разделим обе части на 2:

$n - 1 = k - 1$

$n = k$

Следовательно, в этой сумме также $n$ слагаемых.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_b = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n \cdot n = n^2$.

Ответ: $n^2$.