Страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

573. Арифметическая прогрессия задана формулой aₙ = 3n + 2. Найдите сумму первых:

а) двадцати её членов;

б) пятнадцати её членов.

Данная арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 3n + 2$. Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

Требуется найти сумму первых двадцати членов, то есть $S_{20}$. В этом случае $n=20$.
Сначала найдём первый член прогрессии ($a_1$), подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5$
Теперь найдём двадцатый член прогрессии ($a_{20}$), подставив $n=20$:
$a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62$
Подставим найденные значения $a_1$ и $a_{20}$ в формулу суммы:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$

Ответ: 670.

Требуется найти сумму первых пятнадцати членов, то есть $S_{15}$. В этом случае $n=15$.
Первый член прогрессии нам уже известен: $a_1 = 5$.
Найдём пятнадцатый член прогрессии ($a_{15}$), подставив $n=15$ в заданную формулу:
$a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 45 + 2 = 47$
Подставим найденные значения $a_1$ и $a_{15}$ в формулу суммы:
$S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15 = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = \frac{52}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$

Ответ: 390.

574. Найдите:

а) сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n;

б) сумму 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n – 1.

а) Нам нужно найти сумму $S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$.

Слагаемые этой суммы образуют арифметическую прогрессию, в которой:

• первый член $a_1 = 2$;
• разность прогрессии $d = 2$;
• последний, $k$-й член прогрессии $a_k = 2n$.

Сначала определим количество слагаемых $k$ в этой сумме. Воспользуемся формулой $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

$2n = 2 + (k-1) \cdot 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n = 1 + k - 1$

$n = k$

Таким образом, в сумме ровно $n$ слагаемых.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_a = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = n(n+1)$.

Альтернативный способ:

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S_a = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)$.

В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Тогда сумма равна:

$S_a = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Ответ: $n(n+1)$.

б) Нам нужно найти сумму $S_b = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$.

Слагаемые этой суммы также образуют арифметическую прогрессию, в которой:

• первый член $b_1 = 1$;
• разность прогрессии $d = 2$;
• последний, $k$-й член прогрессии $b_k = 2n - 1$.

Определим количество слагаемых $k$. Используем формулу $k$-го члена: $b_k = b_1 + (k-1)d$.

$2n - 1 = 1 + (k-1) \cdot 2$

$2n - 2 = 2(k - 1)$

Разделим обе части на 2:

$n - 1 = k - 1$

$n = k$

Следовательно, в этой сумме также $n$ слагаемых.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_b = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n \cdot n = n^2$.

Ответ: $n^2$.

575. Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;

б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;

в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;

г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть сумму чисел от 1 до 150. Эта последовательность чисел является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 150$.

Количество членов в этой прогрессии $n = 150$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения в формулу:

$S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$.

Ответ: 11325.

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 20$.

Последний член прогрессии $a_n = 120$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Сначала определим количество членов в этой прогрессии по формуле $n = a_n - a_1 + 1$ (для случая, когда разность $d=1$) или по общей формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.

$n = \frac{120 - 20}{1} + 1 = 100 + 1 = 101$.

Теперь вычислим сумму, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$.

Ответ: 7070.

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. Эти числа (4, 8, 12, ...) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Последний член прогрессии, кратный 4 и не превосходящий 300, это $a_n = 300$, так как $300$ делится на $4$ без остатка ($300 = 4 \cdot 75$).

Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов прогрессии. Так как $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$300 = 4 + (n-1) \cdot 4$

$296 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{296}{4} = 74$

$n = 75$.

Теперь вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$.

Ответ: 11400.

г) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Эти числа (7, 14, 21, ...) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Разность прогрессии $d = 7$.

Найдем последний член прогрессии, который кратен 7 и не превышает 130. Для этого разделим 130 на 7:

$130 \div 7 = 18$ (остаток 4).

Следовательно, наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 130, это $7 \cdot 18 = 126$. Итак, $a_n = 126$.

Количество членов прогрессии равно $n = 18$.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$.

Ответ: 1197.

576. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

По условию задачи, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 10$ и разность $d = 3$. Необходимо найти сумму членов с пятнадцатого по тридцатый включительно.

Для решения этой задачи мы можем рассматривать искомую последовательность членов (с 15-го по 30-й) как отдельную арифметическую прогрессию. Для нахождения ее суммы нам нужно найти значение первого и последнего членов этой последовательности ($a_{15}$ и $a_{30}$), а также количество членов в ней.

Нахождение 15-го и 30-го членов
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для 15-го члена: $a_{15} = 10 + (15-1) \cdot 3 = 10 + 14 \cdot 3 = 10 + 42 = 52$.
Для 30-го члена: $a_{30} = 10 + (30-1) \cdot 3 = 10 + 29 \cdot 3 = 10 + 87 = 97$.

Вычисление суммы
Количество членов в диапазоне от 15-го до 30-го включительно равно $n = 30 - 15 + 1 = 16$.
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии, где первый член равен $a_{15}$, а последний — $a_{30}$: $S = \frac{a_{15} + a_{30}}{2} \cdot n$
Подставляем найденные значения: $S = \frac{52 + 97}{2} \cdot 16 = \frac{149}{2} \cdot 16 = 149 \cdot 8 = 1192$.

Ответ: 1192

577. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член равен 21 и разность равна –0,5.

По условию задачи дана арифметическая прогрессия со следующими параметрами:

• Первый член прогрессии $a_1 = 21$.
• Разность прогрессии $d = -0,5$.

Необходимо найти сумму членов этой прогрессии с шестого ($a_6$) по двадцать пятый ($a_{25}$) включительно.

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Вычисление суммы как для новой прогрессии

Мы можем рассматривать последовательность членов с $a_6$ по $a_{25}$ как отдельную арифметическую прогрессию. Чтобы найти её сумму, нам нужно знать её первый член ($a_6$), последний член ($a_{25}$) и количество членов ($n$).

1. Найдём шестой член прогрессии по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_6 = 21 + (6-1) \cdot (-0,5) = 21 + 5 \cdot (-0,5) = 21 - 2,5 = 18,5$.

2. Найдём двадцать пятый член прогрессии:
$a_{25} = 21 + (25-1) \cdot (-0,5) = 21 + 24 \cdot (-0,5) = 21 - 12 = 9$.

3. Определим количество членов в искомой сумме:
$n = 25 - 6 + 1 = 20$ членов.

4. Вычислим сумму по формуле $S = \frac{a_n + a_k}{2} \cdot (k-n+1)$:
$S = \frac{a_6 + a_{25}}{2} \cdot n = \frac{18,5 + 9}{2} \cdot 20 = \frac{27,5}{2} \cdot 20 = 13,75 \cdot 20 = 275$.

Способ 2: Вычисление через разность сумм

Искомую сумму можно также найти, если из суммы первых двадцати пяти членов прогрессии ($S_{25}$) вычесть сумму первых пяти членов ($S_5$).

1. Найдём сумму первых 25 членов по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ :
$S_{25} = \frac{2 \cdot 21 + (25-1) \cdot (-0,5)}{2} \cdot 25 = \frac{42 - 12}{2} \cdot 25 = \frac{30}{2} \cdot 25 = 15 \cdot 25 = 375$.

2. Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{2 \cdot 21 + (5-1) \cdot (-0,5)}{2} \cdot 5 = \frac{42 - 2}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$.

3. Найдём искомую сумму как разность $S_{25}$ и $S_5$:
$S = S_{25} - S_5 = 375 - 100 = 275$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 275

578. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (cₙ), если c₇ = 18,5 и c₁₇ = –26,5.

Для того чтобы найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии $(c_n)$, нам сначала нужно определить её первый член $c_1$ и разность $d$.

Из условия задачи мы знаем, что $c_7 = 18,5$ и $c_{17} = -26,5$.

1. Найдём разность прогрессии $d$.
Формула, связывающая два любых члена арифметической прогрессии, выглядит так: $c_m = c_n + (m-n)d$.
Применим эту формулу для известных нам членов $c_{17}$ и $c_7$:
$c_{17} = c_7 + (17-7)d$
Подставим числовые значения:
$-26,5 = 18,5 + 10d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$10d = -26,5 - 18,5$
$10d = -45$
$d = -4,5$

2. Теперь найдём первый член прогрессии $c_1$.
Используем формулу n-го члена прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.
Возьмём $n=7$:
$c_7 = c_1 + (7-1)d$
Подставим известные значения $c_7 = 18,5$ и $d = -4,5$:
$18,5 = c_1 + 6 \cdot (-4,5)$
$18,5 = c_1 - 27$
Отсюда найдём $c_1$:
$c_1 = 18,5 + 27$
$c_1 = 45,5$

3. Наконец, вычислим сумму первых двадцати членов $S_{20}$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2c_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n=20$, а также найденные значения $c_1 = 45,5$ и $d = -4,5$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 45,5 + (20-1) \cdot (-4,5)}{2} \cdot 20$
Упростим выражение, сократив 2 и 20:
$S_{20} = (2 \cdot 45,5 + 19 \cdot (-4,5)) \cdot 10$
$S_{20} = (91 - 85,5) \cdot 10$
$S_{20} = 5,5 \cdot 10$
$S_{20} = 55$

Ответ: 55

579. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (bₙ), если b₁ = 4,2 и b₁₀ = 15,9.

Для решения задачи нам необходимо найти сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, $S_{15}$.

По определению, $n$-й член арифметической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и разностью $d$ вычисляется по формуле:$b_n = b_1 + (n-1)d$

В условии даны первый и десятый члены прогрессии: $b_1 = 4,2$ и $b_{10} = 15,9$. Используем эти данные для нахождения разности прогрессии $d$.

Подставим известные значения в формулу для $n=10$:$b_{10} = b_1 + (10-1)d$$15,9 = 4,2 + 9d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:$9d = 15,9 - 4,2$$9d = 11,7$$d = \frac{11,7}{9}$$d = 1,3$

Разность арифметической прогрессии равна $1,3$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:$S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых пятнадцати членов, то есть $S_{15}$. Подставим в формулу значения $n=15$, $b_1 = 4,2$ и $d=1,3$:$S_{15} = \frac{2 \cdot 4,2 + (15-1) \cdot 1,3}{2} \cdot 15$$S_{15} = \frac{8,4 + 14 \cdot 1,3}{2} \cdot 15$$S_{15} = \frac{8,4 + 18,2}{2} \cdot 15$$S_{15} = \frac{26,6}{2} \cdot 15$$S_{15} = 13,3 \cdot 15$$S_{15} = 199,5$

Таким образом, сумма первых пятнадцати членов данной арифметической прогрессии равна 199,5.

Ответ: 199,5

580. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло её дна через 5 с после начала падения.

Расстояния, которые тело проходит за каждую последовательную секунду свободного падения, образуют арифметическую прогрессию, так как по условию задачи за каждую следующую секунду расстояние увеличивается на одну и ту же величину.

Определим параметры этой арифметической прогрессии:
- Первый член прогрессии, $a_1$, равен расстоянию, пройденному за первую секунду: $a_1 = 5$ м.
- Разность прогрессии, $d$, равна величине, на которую увеличивается расстояние каждую секунду: $d = 10$ м.
- Количество членов прогрессии, $n$, равно общему времени падения: $n = 5$ с.

Глубина шахты равна общему расстоянию, пройденному телом за всё время падения. Это расстояние является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$). Для её вычисления воспользуемся формулой:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу для нахождения суммы первых пяти членов ($S_5$):
$S_5 = \frac{2 \cdot 5 + 10 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{10 + 10 \cdot 4}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{10 + 40}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{50}{2} \cdot 5$
$S_5 = 25 \cdot 5 = 125$ м.

Ответ: глубина шахты составляет 125 м.

581. (Для работы в парах.) Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело:

а) за пятую секунду после начала падения;

б) за пять секунд после начала падения?

1) Обсудите, какое известное вам из курса физики свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Для решения данной задачи необходимо использовать законы равноускоренного движения. Свободное падение является частным случаем такого движения, когда тело движется только под действием силы тяжести. При этом мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, считаем начальную скорость тела равной нулю ($v_0 = 0$), а ускорение постоянным и равным ускорению свободного падения $g$. В расчетах будем использовать стандартное значение $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.

Расстояние $h$, которое проходит тело при свободном падении за время $t$, определяется формулой:

$h(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула для нашего случая упрощается:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

а) за пятую секунду после начала падения;

Расстояние, пройденное телом за пятую секунду, — это разность между расстоянием, которое тело пролетело за полные пять секунд, и расстоянием, которое оно пролетело за первые четыре секунды. Обозначим искомое расстояние как $\Delta h_5$.

$\Delta h_5 = h(t_2) - h(t_1)$, где $t_2 = 5$ с, а $t_1 = 4$ с.

1. Сначала вычислим полное расстояние, пройденное за 5 секунд:

$h(5) = \frac{g \cdot (5\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{с}^2}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122,5 \, \text{м}$

2. Затем вычислим полное расстояние, пройденное за 4 секунды:

$h(4) = \frac{g \cdot (4\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 16 \, \text{с}^2}{2} = \frac{156,8 \, \text{м}}{2} = 78,4 \, \text{м}$

3. Теперь найдем разность, чтобы определить расстояние, пройденное именно за пятую секунду:

$\Delta h_5 = h(5) - h(4) = 122,5 \, \text{м} - 78,4 \, \text{м} = 44,1 \, \text{м}$

Ответ: 44,1 м.

б) за пять секунд после начала падения?

Расстояние, пройденное телом за пять секунд, — это общее расстояние, которое тело преодолело с момента начала падения ($t=0$) до момента времени $t=5$ с.

Для этого мы используем формулу $h(t) = \frac{gt^2}{2}$, подставляя значение времени $t = 5$ с. Этот расчет уже был выполнен в первом шаге пункта а).

$h(5) = \frac{g \cdot (5\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{с}^2}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122,5 \, \text{м}$

Ответ: 122,5 м.

582. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 70). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?

В данной задаче расположение шаров описывается арифметической прогрессией. В первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3, и так далее. Это означает, что количество шаров в $n$-ом ряду равно $n$.

Общее количество шаров в $n$ рядах — это сумма первых $n$ членов этой прогрессии. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел (или суммы арифметической прогрессии, где $a_1=1$ и $d=1$) выглядит так:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120?

Нам известно общее количество шаров $S_n = 120$. Необходимо найти количество рядов $n$. Для этого подставим известное значение в формулу:

$\frac{n(n+1)}{2} = 120$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 240$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $an^2+bn+c=0$:

$n^2 + n - 240 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку количество рядов $n$ должно быть положительным числом, то подходит только корень $n=15$.

Ответ: 15 рядов.

Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?

В этом вопросе нам дано количество рядов $n = 30$. Необходимо найти общее число шаров $S_{30}$. Используем ту же формулу суммы:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Подставим $n=30$ в формулу:

$S_{30} = \frac{30(30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2}$

Выполним вычисление:

$S_{30} = 15 \cdot 31 = 465$

Ответ: 465 шаров.