Страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

569. Найдите сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии (aₙ), если:

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула, в которой известны первый и $n$-й члены:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной задаче требуется найти сумму первых шестидесяти членов, следовательно, $n = 60$.

а)

По условию имеем: $a_1 = 3$ и $a_{60} = 57$.

Подставим эти значения в формулу для суммы $S_{60}$:

$S_{60} = \frac{a_1 + a_{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{3 + 57}{2} \cdot 60$

Выполним вычисления:

$S_{60} = \frac{60}{2} \cdot 60 = 30 \cdot 60 = 1800$

Ответ: 1800

б)

По условию имеем: $a_1 = -10,5$ и $a_{60} = 51,5$.

Подставим эти значения в формулу для суммы $S_{60}$:

$S_{60} = \frac{a_1 + a_{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{-10,5 + 51,5}{2} \cdot 60$

Выполним вычисления:

$S_{60} = \frac{41}{2} \cdot 60 = 41 \cdot 30 = 1230$

Ответ: 1230

570. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии:

а) –23; –20; … ;

б) 14,2; 9,6; … .

а)

Дана арифметическая прогрессия $-23; -20; \dots$.
Чтобы найти сумму первых восьми членов этой прогрессии, сначала определим ее основные параметры.
Первый член прогрессии: $a_1 = -23$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -20 - (-23) = -20 + 23 = 3$.
Количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 8$.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставим наши значения в формулу для $n=8$:
$S_8 = \frac{2 \cdot (-23) + 3 \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-46 + 3 \cdot 7}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-46 + 21}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-25}{2} \cdot 8$
$S_8 = -25 \cdot 4 = -100$
Ответ: -100

б)

Дана арифметическая прогрессия $14,2; 9,6; \dots$.
Аналогично предыдущему пункту, определим параметры этой прогрессии.
Первый член прогрессии: $a_1 = 14,2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 9,6 - 14,2 = -4,6$.
Количество членов $n = 8$.
Используем ту же формулу суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставим значения для $n=8$:
$S_8 = \frac{2 \cdot 14,2 + (-4,6) \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{28,4 - 4,6 \cdot 7}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{28,4 - 32,2}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-3,8}{2} \cdot 8$
$S_8 = -3,8 \cdot 4 = -15,2$
Ответ: -15,2

571. Вычислите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии (bₙ), если:

а) b₁ = –17, d = 6;

б) b₁ = 6,4, d = 0,8.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{2b_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

В условии задачи требуется найти сумму первых девяти членов, следовательно, $n = 9$.

а)

Дано: $b_1 = -17$, $d = 6$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения суммы первых девяти членов:

$S_9 = \frac{2 \cdot (-17) + 6 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9$

Выполним вычисления:

$S_9 = \frac{-34 + 6 \cdot 8}{2} \cdot 9 = \frac{-34 + 48}{2} \cdot 9 = \frac{14}{2} \cdot 9 = 7 \cdot 9 = 63$

Ответ: 63.

б)

Дано: $b_1 = 6,4$, $d = 0,8$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения суммы первых девяти членов:

$S_9 = \frac{2 \cdot 6,4 + 0,8 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9$

Выполним вычисления:

$S_9 = \frac{12,8 + 0,8 \cdot 8}{2} \cdot 9 = \frac{12,8 + 6,4}{2} \cdot 9 = \frac{19,2}{2} \cdot 9 = 9,6 \cdot 9 = 86,4$

Ответ: 86,4.

572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (xₙ), если:

Все представленные последовательности $(x_n)$ являются арифметическими прогрессиями, так как их n-й член задан линейной функцией вида $x_n = An + B$. Сумму первых $k$ членов арифметической прогрессии $(x_n)$ будем находить по формуле:

$S_k = \frac{k(x_1 + x_k)}{2}$, где $x_1$ — первый член, а $x_k$ — k-й член последовательности.

а) $x_n = 4n + 2$

Первый член последовательности: $x_1 = 4(1) + 2 = 6$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 4(50) + 2 = 202$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(6 + 202)}{2} = \frac{50 \cdot 208}{2} = 25 \cdot 208 = 5200$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 4(100) + 2 = 402$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(6 + 402)}{2} = 50 \cdot 408 = 20400$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(6 + 4n + 2)}{2} = \frac{n(4n + 8)}{2} = \frac{4n(n + 2)}{2} = 2n(n + 2)$.

Ответ: $S_{50} = 5200$; $S_{100} = 20400$; $S_n = 2n(n + 2)$.

б) $x_n = 2n + 3$

Первый член последовательности: $x_1 = 2(1) + 3 = 5$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 2(50) + 3 = 103$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(5 + 103)}{2} = \frac{50 \cdot 108}{2} = 25 \cdot 108 = 2700$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 2(100) + 3 = 203$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(5 + 203)}{2} = 50 \cdot 208 = 10400$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(5 + 2n + 3)}{2} = \frac{n(2n + 8)}{2} = \frac{2n(n + 4)}{2} = n(n + 4)$.

Ответ: $S_{50} = 2700$; $S_{100} = 10400$; $S_n = n(n + 4)$.

в) $x_n = n - 4$

Первый член последовательности: $x_1 = 1 - 4 = -3$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 50 - 4 = 46$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(-3 + 46)}{2} = \frac{50 \cdot 43}{2} = 25 \cdot 43 = 1075$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 100 - 4 = 96$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(-3 + 96)}{2} = 50 \cdot 93 = 4650$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(-3 + n - 4)}{2} = \frac{n(n - 7)}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 1075$; $S_{100} = 4650$; $S_n = \frac{n(n - 7)}{2}$.

г) $x_n = 3n - 1$

Первый член последовательности: $x_1 = 3(1) - 1 = 2$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 3(50) - 1 = 149$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(2 + 149)}{2} = \frac{50 \cdot 151}{2} = 25 \cdot 151 = 3775$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 3(100) - 1 = 299$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(2 + 299)}{2} = 50 \cdot 301 = 15050$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(2 + 3n - 1)}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 3775$; $S_{100} = 15050$; $S_n = \frac{n(3n + 1)}{2}$.