Страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

589. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bₙ), если:

Для нахождения членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $n$-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Также можно находить каждый последующий член, умножая предыдущий на знаменатель прогрессии: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

а) Дано: $b_1 = 6$, $q = 2$.

Найдем первые пять членов прогрессии, последовательно умножая на знаменатель $q=2$:

$b_1 = 6$

$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 2 = 12$

$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot 2 = 24$

$b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$

$b_5 = b_4 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$

Ответ: 6; 12; 24; 48; 96.

б) Дано: $b_1 = -16$, $q = \frac{1}{2}$.

Найдем первые пять членов прогрессии, последовательно умножая на знаменатель $q=\frac{1}{2}$:

$b_1 = -16$

$b_2 = b_1 \cdot q = -16 \cdot \frac{1}{2} = -8$

$b_3 = b_2 \cdot q = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4$

$b_4 = b_3 \cdot q = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$

$b_5 = b_4 \cdot q = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

Ответ: -16; -8; -4; -2; -1.

в) Дано: $b_1 = -24$, $q = -1,5$.

Найдем первые пять членов прогрессии, последовательно умножая на знаменатель $q=-1,5$:

$b_1 = -24$

$b_2 = b_1 \cdot q = -24 \cdot (-1,5) = 36$

$b_3 = b_2 \cdot q = 36 \cdot (-1,5) = -54$

$b_4 = b_3 \cdot q = -54 \cdot (-1,5) = 81$

$b_5 = b_4 \cdot q = 81 \cdot (-1,5) = -121,5$

Ответ: -24; 36; -54; 81; -121,5.

г) Дано: $b_1 = 0,4$, $q = \sqrt{2}$.

Найдем первые пять членов прогрессии, последовательно умножая на знаменатель $q=\sqrt{2}$:

$b_1 = 0,4$

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,4 \cdot \sqrt{2} = 0,4\sqrt{2}$

$b_3 = b_2 \cdot q = 0,4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 0,4 \cdot 2 = 0,8$

$b_4 = b_3 \cdot q = 0,8 \cdot \sqrt{2} = 0,8\sqrt{2}$

$b_5 = b_4 \cdot q = 0,8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 0,8 \cdot 2 = 1,6$

Ответ: 0,4; $0,4\sqrt{2}$; 0,8; $0,8\sqrt{2}$; 1,6.

590. Последовательность (cₙ) — геометрическая прогрессия, первый член которой равен c₁, а знаменатель равен q. Выразите через c₁ и q:

Общая формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(c_n)$ с первым членом $c_1$ и знаменателем $q$ имеет вид: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$.

Применим эту формулу для каждого из указанных случаев.

а) $c_6$
Для нахождения шестого члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=6$:
$c_6 = c_1 \cdot q^{6-1} = c_1 \cdot q^5$.
Ответ: $c_6 = c_1 \cdot q^5$.

б) $c_{20}$
Для нахождения двадцатого члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=20$:
$c_{20} = c_1 \cdot q^{20-1} = c_1 \cdot q^{19}$.
Ответ: $c_{20} = c_1 \cdot q^{19}$.

в) $c_{125}$
Для нахождения сто двадцать пятого члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=125$:
$c_{125} = c_1 \cdot q^{125-1} = c_1 \cdot q^{124}$.
Ответ: $c_{125} = c_1 \cdot q^{124}$.

г) $c_k$
Для нахождения k-го члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=k$:
$c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$.
Ответ: $c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$.

д) $c_{k+3}$
Для нахождения (k+3)-го члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=k+3$:
$c_{k+3} = c_1 \cdot q^{(k+3)-1} = c_1 \cdot q^{k+2}$.
Ответ: $c_{k+3} = c_1 \cdot q^{k+2}$.

е) $c_{2k}$
Для нахождения (2k)-го члена прогрессии подставляем в общую формулу $n=2k$:
$c_{2k} = c_1 \cdot q^{2k-1}$.
Ответ: $c_{2k} = c_1 \cdot q^{2k-1}$.

591. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии $(x_n)$: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Найти $x_7$, если $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$.

Подставляем заданные значения в формулу:

$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Найти $x_8$, если $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7 = -810 \cdot \frac{1}{2187}$.

Так как $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10$ и $2187 = 3^7$, получаем:

$x_8 = - \frac{3^4 \cdot 10}{3^7} = - \frac{10}{3^{7-4}} = - \frac{10}{3^3} = - \frac{10}{27}$.

Ответ: $-\frac{10}{27}$.

в) Найти $x_{10}$, если $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9$.

Поскольку степень 9 нечетная, знак минус сохраняется: $(-\sqrt{2})^9 = -(\sqrt{2})^9$.

$x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = -(\sqrt{2})^{1+9} = -(\sqrt{2})^{10} = -((\sqrt{2})^2)^5 = -2^5 = -32$.

Ответ: $-32$.

г) Найти $x_6$, если $x_1 = -125$, $q = 0,2$.

Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $q = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = -125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = -5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = -\frac{5^3}{5^5} = -\frac{1}{5^{5-3}} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.

Ответ: $-\frac{1}{25}$.

д) Найти $x_5$, если $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 81} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 27} = \frac{4}{27}$.

Ответ: $\frac{4}{27}$.

е) Найти $x_4$, если $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Представим $x_1$ в виде обыкновенной дроби: $x_1 = 1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = \frac{9}{5} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{9}{5} \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{9}{5} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{27\sqrt{3}}{135}$.

Сократим дробь на 27: $\frac{\sqrt{3}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$.

592. Изобразите на координатной плоскости первые пять членов:

а) арифметической прогрессии 1,5; 2,5; 3,5; … ;

б) геометрической прогрессии 8; 4; 2; … .

а) Чтобы изобразить члены прогрессии на координатной плоскости, мы откладываем номер члена ($n$) по оси абсцисс (x), а значение самого члена ($a_n$) — по оси ординат (y). Нам необходимо найти первые пять членов данной арифметической прогрессии и записать их в виде координат точек $(n, a_n)$.

Даны первые члены прогрессии: $a_1 = 1,5$, $a_2 = 2,5$, $a_3 = 3,5$.
Найдем разность арифметической прогрессии $d$, вычтя предыдущий член из последующего:
$d = a_2 - a_1 = 2,5 - 1,5 = 1$.
Теперь, зная разность, найдем четвертый и пятый члены прогрессии, используя формулу $a_n = a_{n-1} + d$ :
$a_4 = a_3 + d = 3,5 + 1 = 4,5$
$a_5 = a_4 + d = 4,5 + 1 = 5,5$
Итак, первые пять членов прогрессии равны: $1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5$.
Соответствующие им точки для изображения на координатной плоскости имеют следующие координаты: $(1; 1,5)$, $(2; 2,5)$, $(3; 3,5)$, $(4; 4,5)$, $(5; 5,5)$. Отметив эти точки на плоскости, можно увидеть, что они лежат на одной прямой.

Ответ: Координаты точек для изображения: $(1; 1,5)$, $(2; 2,5)$, $(3; 3,5)$, $(4; 4,5)$, $(5; 5,5)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, для изображения членов геометрической прогрессии ($b_n$) на координатной плоскости будем использовать точки с координатами $(n, b_n)$.

Даны первые члены прогрессии: $b_1 = 8$, $b_2 = 4$, $b_3 = 2$.
Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив последующий член на предыдущий:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = 0,5$.
Теперь, зная знаменатель, найдем четвертый и пятый члены прогрессии, используя формулу $b_n = b_{n-1} \cdot q$ :
$b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot 0,5 = 1$
$b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot 0,5 = 0,5$
Итак, первые пять членов прогрессии равны: $8; 4; 2; 1; 0,5$.
Соответствующие им точки для изображения на координатной плоскости имеют следующие координаты: $(1; 8)$, $(2; 4)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$, $(5; 0,5)$. Отметив эти точки на плоскости, можно увидеть, что они лежат на кривой, характерной для показательной функции.

Ответ: Координаты точек для изображения: $(1; 8)$, $(2; 4)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$, $(5; 0,5)$.