Страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

604. (Для работы в парах.) Ежегодный доход по вкладу «Юбилейный» составляет 6%. Первоначальный вклад был равен 80 000 р. Какая сумма будет на счету у вкладчика:

а) через 4 года;

б) через 6 лет?

1) Обсудите, с какой последовательностью мы имеем дело в этой задаче.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните расчёты, используя калькулятор.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

1) Обсудите, с какой последовательностью мы имеем дело в этой задаче.

В этой задаче мы имеем дело с геометрической прогрессией. Сумма на счете вкладчика ежегодно увеличивается на 6%, то есть каждый год она умножается на один и тот же коэффициент, равный $1 + 0,06 = 1,06$. Последовательность сумм на счете по годам является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1,06$.

Для расчета итоговой суммы используется формула сложных процентов, которая является применением формулы n-го члена геометрической прогрессии:

$S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n$

где $S_0$ – первоначальный вклад ($80 \, 000$ р.), $r$ – годовая процентная ставка в виде десятичной дроби ($0,06$), а $n$ – количество лет.

а) через 4 года

Для расчета итоговой суммы через 4 года воспользуемся формулой, подставив $n=4$:

$S_4 = 80 \, 000 \cdot (1 + 0,06)^4 = 80 \, 000 \cdot (1,06)^4$

С помощью калькулятора вычислим $(1,06)^4$:

$(1,06)^4 \approx 1,26247696$

Теперь умножим на первоначальную сумму:

$S_4 = 80 \, 000 \cdot 1,26247696 = 100 \, 998,1568$ р.

Округляя результат до сотых (копеек), получаем 100 998,16 р.

Ответ: через 4 года на счету будет 100 998,16 р.

б) через 6 лет

Аналогично, для расчета итоговой суммы через 6 лет подставим в формулу $n=6$:

$S_6 = 80 \, 000 \cdot (1 + 0,06)^6 = 80 \, 000 \cdot (1,06)^6$

С помощью калькулятора вычислим $(1,06)^6$:

$(1,06)^6 \approx 1,41851911$

Теперь умножим на первоначальную сумму:

$S_6 = 80 \, 000 \cdot 1,41851911 \approx 113 \, 481,5288$ р.

Округляя результат до сотых (копеек), получаем 113 481,53 р.

Ответ: через 6 лет на счету будет 113 481,53 р.

605. Екатерина Михайловна открыла два вклада в разных банках. В первый банк она положила 100 000 р. под 6% годовых на 3 года, а во второй банк — 80 000 р. под 10% годовых на 2 года. В каком банке её доход по вкладу в итоге окажется больше и на сколько?

Для решения задачи необходимо рассчитать итоговый доход (проценты) по каждому из двух вкладов, а затем сравнить полученные результаты. Так как в условии не указано иное (например, капитализация процентов), будем использовать формулу расчета простых процентов, где доход начисляется на первоначальную сумму вклада каждый год.

Формула для расчета общего дохода от простых процентов: $I = P \times r \times t$, где $P$ — начальная сумма вклада, $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, $t$ — срок вклада в годах.

Расчет дохода по вкладу в первом банке

Начальная сумма вклада ($P_1$) составляет 100 000 рублей.
Годовая процентная ставка ($r_1$) составляет 6%, что равно $0,06$.
Срок вклада ($t_1$) составляет 3 года.
Рассчитаем общий доход ($I_1$) за весь срок:
$I_1 = 100\ 000 \times 0,06 \times 3 = 6\ 000 \times 3 = 18\ 000$ рублей.
Ответ: доход по вкладу в первом банке за 3 года составит 18 000 рублей.

Расчет дохода по вкладу во втором банке

Начальная сумма вклада ($P_2$) составляет 80 000 рублей.
Годовая процентная ставка ($r_2$) составляет 10%, что равно $0,1$.
Срок вклада ($t_2$) составляет 2 года.
Рассчитаем общий доход ($I_2$) за весь срок:
$I_2 = 80\ 000 \times 0,1 \times 2 = 8\ 000 \times 2 = 16\ 000$ рублей.
Ответ: доход по вкладу во втором банке за 2 года составит 16 000 рублей.

Сравнение доходов и итоговый ответ

Теперь сравним доходы, полученные в двух банках:
Доход в первом банке: $18\ 000$ рублей.
Доход во втором банке: $16\ 000$ рублей.
Так как $18\ 000 > 16\ 000$, доход по вкладу в первом банке оказывается больше.
Найдем, на сколько доход в первом банке больше, чем во втором:
$18\ 000 - 16\ 000 = 2\ 000$ рублей.
Ответ: Доход по вкладу в первом банке окажется больше на 2 000 рублей.

606. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно 2,0 ∙ 10⁴ м³?

Эта задача решается с помощью формулы сложных процентов, так как каждый год прирост в 10% рассчитывается от нового, увеличенного количества древесины.

Формула для нахождения конечного количества $V$ через $n$ лет при начальном количестве $V_0$ и годовом приросте $r$ (выраженном в долях) имеет вид:
$V = V_0 \cdot (1 + r)^n$

Исходя из условия задачи, у нас есть следующие данные:
Первоначальное количество древесины $V_0 = 2,0 \cdot 10^4 \text{ м}^3$.
Ежегодный прирост $r = 10\% = 0,1$.
Количество лет $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу:
$V = (2,0 \cdot 10^4) \cdot (1 + 0,1)^6 = (2,0 \cdot 10^4) \cdot (1,1)^6$

Вычислим значение $(1,1)^6$:
$(1,1)^6 = 1,771561$

Теперь найдем конечное количество древесины, умножив первоначальное количество на полученный коэффициент:
$V = (2,0 \cdot 10^4) \cdot 1,771561 = 3,543122 \cdot 10^4 \text{ м}^3$

Поскольку исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, можно округлить результат до $3,5 \cdot 10^4 \text{ м}^3$ или, для большей точности, до $3,54 \cdot 10^4 \text{ м}^3$. Приведем полный расчетный ответ.

Ответ: через 6 лет на этом участке будет $3,543122 \cdot 10^4 \text{ м}^3$ древесины.

607. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было равно 760 мм рт. ст.

Пусть $P_0$ — первоначальное давление воздуха в сосуде. Согласно условию, $P_0 = 760$ мм рт. ст.

При каждом движении поршня из сосуда удаляется 20% воздуха. Это означает, что в сосуде остается $100\% - 20\% = 80\%$ от предыдущего количества воздуха.

Поскольку давление газа (при постоянных объеме и температуре) прямо пропорционально количеству (массе) газа, то после каждого движения поршня давление также будет составлять 80% от предыдущего значения. Таким образом, давление уменьшается в $1 / 0.8 = 1.25$ раза за каждый ход поршня, или, что то же самое, умножается на коэффициент $0.8$.

Этот процесс представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член — это начальное давление $P_0$, а знаменатель прогрессии $q = 0.8$. Давление $P_n$ после $n$ движений поршня можно найти по формуле:

$P_n = P_0 \cdot q^n$

В данной задаче необходимо найти давление после шести движений поршня, то есть при $n = 6$:

$P_6 = P_0 \cdot (0.8)^6$

Подставим известные значения:

$P_6 = 760 \cdot (0.8)^6$

Вычислим значение $(0.8)^6$:

$(0.8)^6 = 0.262144$

Теперь умножим это значение на начальное давление:

$P_6 = 760 \cdot 0.262144 = 199.22944$ мм рт. ст.

Округлим результат, например, до сотых:

$P_6 \approx 199.23$ мм рт. ст.

Ответ: давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня составит примерно 199.23 мм рт. ст.

608. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $a_n$ — сторона n-го равностороннего треугольника, а $P_n$ — его периметр. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 8$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи, сторона следующего, (n+1)-го, треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего, n-го, треугольника $h_n$. Так как в равностороннем треугольнике все высоты равны, то все построенные треугольники будут равносторонними.
Следовательно, $a_{n+1} = h_n = a_n \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем отношение периметра (n+1)-го треугольника к периметру n-го:
$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n \frac{\sqrt{3}}{2}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку отношение периметра каждого последующего треугольника к предыдущему является постоянной величиной, равной $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, последовательность периметров по определению является геометрической прогрессией, что и требовалось доказать.

Найдите периметр шестого треугольника

Для нахождения периметра шестого треугольника $P_6$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $P_n = P_1 \cdot q^{n-1}$.

1. Первый член прогрессии $P_1$ — это периметр исходного треугольника:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

2. Знаменатель прогрессии $q$, как было доказано выше, равен $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем шестой член прогрессии $P_6$, подставив $n=6$ в формулу:
$P_6 = P_1 \cdot q^{6-1} = P_1 \cdot q^5 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5$.

4. Выполним вычисления:
$P_6 = 24 \cdot \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} = 24 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 9\sqrt{3}}{4 \cdot 8} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.

Ответ: периметр шестого треугольника равен $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.

609. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.

Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ — последовательность треугольников, а $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ — последовательность их периметров.

Первый треугольник $T_1$ является равносторонним со стороной $a_1 = 16$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.

Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон треугольника $T_1$. Следовательно, стороны $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.

По свойству средней линии, она параллельна основанию и равна его половине. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны $a_1$. Значит, все средние линии $T_1$ также равны между собой, и их длина составляет $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Таким образом, треугольник $T_2$ тоже равносторонний.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a_1) = \frac{1}{2} P_1$.

Аналогично, для любого треугольника $T_n$ со стороной $a_n$ и периметром $P_n$, вписанный в него треугольник $T_{n+1}$ будет равносторонним со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$ и периметром $P_{n+1} = \frac{1}{2} P_n$.

Рассмотрим отношение любого члена последовательности периметров $P_{n+1}$ к предыдущему члену $P_n$:

$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{1}{2}P_n}{P_n} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность периметров является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Ответ: Последовательность периметров треугольников образует геометрическую прогрессию, так как периметр каждого следующего треугольника равен половине периметра предыдущего, что означает, что знаменатель прогрессии $q = 1/2$ является постоянной величиной.

Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $b_n = P_n$.

Найдем первый член прогрессии — периметр исходного треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 16$ см:

$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, $q = 1/2$.

Теперь найдем периметр восьмого треугольника ($n=8$):

$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения в формулу:

$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{2^7} = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:

$\frac{48}{128} = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 8} = \frac{3}{8}$

Таким образом, периметр восьмого треугольника составляет $3/8$ см.

Ответ: $3/8$ см.

610. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства вычислений обозначим их как $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$

Итак, среднее число равно 7. Арифметическая прогрессия имеет вид: $7 - d$, $7$, $7 + d$.

Далее, по условию, из этих чисел получают новую последовательность: первое число оставляют без изменений, второе уменьшают на 1, а третье увеличивают на 1. Новые числа:
$b_1 = 7 - d$
$b_2 = 7 - 1 = 6$
$b_3 = (7 + d) + 1 = 8 + d$

Полученные числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения:
$6^2 = (7 - d)(8 + d)$

Решим это уравнение, чтобы найти $d$:
$36 = 56 + 7d - 8d - d^2$
$36 = 56 - d - d^2$
$d^2 + d - 20 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно $-20$, а их сумма равна $-1$. Следовательно, корни уравнения:
$d_1 = 4$ и $d_2 = -5$.

Теперь мы можем найти исходные числа для каждого из двух найденных значений разности $d$.

Если $d = 4$, то искомые числа:
$a_1 = 7 - 4 = 3$
$a_2 = 7$
$a_3 = 7 + 4 = 11$
Получается последовательность 3, 7, 11.

Если $d = -5$, то искомые числа:
$a_1 = 7 - (-5) = 12$
$a_2 = 7$
$a_3 = 7 + (-5) = 2$
Получается последовательность 12, 7, 2.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для (3, 7, 11): сумма $3+7+11=21$. Новая последовательность ($3, 7-1, 11+1$) то есть ($3, 6, 12$) является геометрической прогрессией.
Проверка для (12, 7, 2): сумма $12+7+2=21$. Новая последовательность ($12, 7-1, 2+1$) то есть ($12, 6, 3$) является геометрической прогрессией.

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.

611. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть три положительных числа, образующих арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа через средний член $a$ и разность прогрессии $d$: $a_1 = a - d$ $a_2 = a$ $a_3 = a + d$

Согласно первому условию задачи, сумма этих чисел равна 15. Составим и решим уравнение: $(a - d) + a + (a + d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Теперь мы знаем средний член прогрессии, и наши числа можно записать как: $5 - d$, $5$, $5 + d$. По условию, все три числа положительные, что накладывает ограничение на $d$: $5 - d > 0 \implies d < 5$ $5 + d > 0 \implies d > -5$ Следовательно, $-5 < d < 5$.

Далее, согласно второму условию, мы увеличиваем первое и второе числа на 1, а третье на 4. Получаем новые числа: $b_1 = (5 - d) + 1 = 6 - d$ $b_2 = 5 + 1 = 6$ $b_3 = (5 + d) + 4 = 9 + d$

Эти новые числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши выражения: $6^2 = (6 - d)(9 + d)$

Решим это уравнение относительно $d$: $36 = 54 + 6d - 9d - d^2$ $36 = 54 - 3d - d^2$ $d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$ $d^2 + 3d - 18 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-18$. Легко подобрать корни: $d_1 = 3$ $d_2 = -6$

Теперь необходимо проверить, какой из корней удовлетворяет ранее найденному условию $-5 < d < 5$. Корень $d_1 = 3$ подходит, так как $-5 < 3 < 5$. Корень $d_2 = -6$ не подходит, так как он не входит в данный интервал. Если бы $d = -6$, то третье исходное число было бы $5 + (-6) = -1$, что противоречит условию о том, что все числа положительные.

Таким образом, разность арифметической прогрессии однозначно равна $d=3$. Найдем искомые числа: Первое число: $a_1 = 5 - 3 = 2$ Второе число: $a_2 = 5$ Третье число: $a_3 = 5 + 3 = 8$

Проверка: Числа 2, 5, 8 действительно образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна $2+5+8=15$. После преобразований получаем числа $2+1=3$, $5+1=6$, $8+4=12$, которые образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Ответ: 2, 5, 8.