Номер 610, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 610, страница 173.

Условие.

610. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства вычислений обозначим их как $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$

Итак, среднее число равно 7. Арифметическая прогрессия имеет вид: $7 - d$, $7$, $7 + d$.

Далее, по условию, из этих чисел получают новую последовательность: первое число оставляют без изменений, второе уменьшают на 1, а третье увеличивают на 1. Новые числа:
$b_1 = 7 - d$
$b_2 = 7 - 1 = 6$
$b_3 = (7 + d) + 1 = 8 + d$

Полученные числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения:
$6^2 = (7 - d)(8 + d)$

Решим это уравнение, чтобы найти $d$:
$36 = 56 + 7d - 8d - d^2$
$36 = 56 - d - d^2$
$d^2 + d - 20 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно $-20$, а их сумма равна $-1$. Следовательно, корни уравнения:
$d_1 = 4$ и $d_2 = -5$.

Теперь мы можем найти исходные числа для каждого из двух найденных значений разности $d$.

Если $d = 4$, то искомые числа:
$a_1 = 7 - 4 = 3$
$a_2 = 7$
$a_3 = 7 + 4 = 11$
Получается последовательность 3, 7, 11.

Если $d = -5$, то искомые числа:
$a_1 = 7 - (-5) = 12$
$a_2 = 7$
$a_3 = 7 + (-5) = 2$
Получается последовательность 12, 7, 2.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для (3, 7, 11): сумма $3+7+11=21$. Новая последовательность ($3, 7-1, 11+1$) то есть ($3, 6, 12$) является геометрической прогрессией.
Проверка для (12, 7, 2): сумма $12+7+2=21$. Новая последовательность ($12, 7-1, 2+1$) то есть ($12, 6, 3$) является геометрической прогрессией.

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.