Номер 612, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии - номер 612, страница 174.

Условие.

612. (Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

3) Составьте уравнение и решите его.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.
Предположим, что длины сторон $a$, $b$ и $c$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть первый член этой прогрессии равен $x$, а знаменатель равен $q$. Так как длины сторон должны быть положительными, $x > 0$.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Чтобы члены прогрессии возрастали, её знаменатель должен быть больше единицы, то есть $q > 1$.
Тогда стороны треугольника в порядке возрастания их длин можно записать как $x$, $xq$, $xq^2$.
Самая длинная сторона — гипотенуза $c = xq^2$. Катеты — это $a$ и $b$. Мы можем положить $a = x$ и $b = xq$.
Итак, мы имеем:
Катет $a = x$
Катет $b = xq$
Гипотенуза $c = xq^2$
Ответ: Введены обозначения для сторон прямоугольного треугольника ($a$, $b$, $c$), и они выражены через члены геометрической прогрессии ($x, xq, xq^2$) со знаменателем $q > 1$.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение между длинами его сторон, известное как теорема Пифагора. Она гласит, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Математически это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$.
Эту теорему мы и будем использовать для проверки нашего предположения.
Ответ: Можно использовать теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

3) Составьте уравнение и решите его.

Подставим выражения для сторон $a, b, c$ через $x$ и $q$ в уравнение теоремы Пифагора:
$(x)^2 + (xq)^2 = (xq^2)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + x^2q^2 = x^2q^4$
Поскольку $x$ — это длина стороны, $x \ne 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:
$1 + q^2 = q^4$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $q$:
$q^4 - q^2 - 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = q^2$. Так как $q > 1$, то $y = q^2 > 1$. Уравнение примет вид:
$y^2 - y - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1, b=-1, c=-1$.
$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Мы получили два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Теперь вернёмся к замене $y = q^2$.
Рассмотрим $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $1 - \sqrt{5} < 0$, следовательно, $y_2 < 0$. Но $q^2$ не может быть отрицательным, поэтому этот корень является посторонним.
Рассмотрим $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Это число положительное (и больше 1), оно известно как "золотое сечение" и обозначается $\phi$.
Итак, $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Отсюда находим $q$, взяв положительный корень:
$q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
Поскольку $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 > 1$, то и $q > 1$, что соответствует нашему начальному условию.
Ответ: Уравнение $q^4 - q^2 - 1 = 0$ имеет единственный подходящий корень для знаменателя прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Вывод: Длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Это возможно, если знаменатель прогрессии $q$ равен $\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.
Проверка:
Мы должны убедиться, что при найденном значении $q$ выполняется равенство $1 + q^2 = q^4$. Это равенство было получено из теоремы Пифагора, поэтому проверка его выполнения докажет наше утверждение.
Мы знаем, что $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Найдём $q^4$:
$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Теперь найдём значение выражения $1 + q^2$:
$1 + q^2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $q^4$ действительно равно $1 + q^2$:
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
Равенство выполняется, следовательно, теорема Пифагора соблюдается. Таким образом, прямоугольный треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию с таким знаменателем, существует.
Ответ: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Проверка подтверждает, что при знаменателе прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$ теорема Пифагора выполняется.