Номер 619, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

619. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии, при условии что $q \neq 1$.

а) В прогрессии $1; 3; 3^2; \dots$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{3}{1} = 3$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

б) В прогрессии $2; 2^2; 2^3; \dots$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{1} = 2(2^n - 1)$.
Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

в) В прогрессии $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = -\frac{1}{3}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-1/2)^n}{3}$.

г) В прогрессии $1; -x; x^2; \dots$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $q \neq 1$ ($ -x \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq -1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((-x)^n - 1)}{-x - 1} = \frac{(-x)^n - 1}{-(x + 1)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.

д) В прогрессии $1; x^2; x^4; \dots$ (где $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $q \neq 1$ ($x^2 \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq \pm 1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.
Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

е) В прогрессии $1; -x^3; x^6; \dots$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $q \neq 1$ ($-x^3 \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq -1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((-x^3)^n - 1)}{-x^3 - 1} = \frac{(-x^3)^n - 1}{-(x^3 + 1)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.