Номер 620, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 620, страница 177.

Условие.

620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии $S_7$ используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Во всех случаях $n=7$.
Сначала необходимо найти первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

а) $b_7 = 72.9$, $q = 1.5$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=7$ имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{6}$.
Подставим заданные значения: $72.9 = b_1 \cdot (1.5)^6$.
Вычислим $(1.5)^6$: $1.5 = \frac{3}{2}$, поэтому $(1.5)^6 = (\frac{3}{2})^6 = \frac{3^6}{2^6} = \frac{729}{64}$.
Теперь решим уравнение для $b_1$: $\frac{729}{10} = b_1 \cdot \frac{729}{64}$.
Отсюда $b_1 = \frac{729}{10} \div \frac{729}{64} = \frac{729}{10} \cdot \frac{64}{729} = \frac{64}{10} = 6.4$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$.
Вычислим $q^7$: $(1.5)^7 = (\frac{3}{2})^7 = \frac{3^7}{2^7} = \frac{2187}{128}$.
$S_7 = \frac{6.4((1.5)^7 - 1)}{1.5 - 1} = \frac{6.4(\frac{2187}{128} - 1)}{0.5} = \frac{\frac{64}{10}(\frac{2187 - 128}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{64}{10} \cdot \frac{2059}{128}}{\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{64 \cdot 2059}{10 \cdot 128} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 2059}{10 \cdot 2} \cdot 2 = \frac{2059}{10} = 205.9$.
Ответ: $205.9$

б) $b_5 = \frac{16}{9}$, $q = \frac{2}{3}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$ имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.
Подставим заданные значения: $\frac{16}{9} = b_1 \cdot (\frac{2}{3})^4$.
Вычислим $q^4$: $(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Решим уравнение: $\frac{16}{9} = b_1 \cdot \frac{16}{81}$.
Отсюда $b_1 = \frac{16}{9} \div \frac{16}{81} = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{9} = 9$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Поскольку $|q| < 1$, удобнее использовать формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(\frac{2}{3})^7 = \frac{2^7}{3^7} = \frac{128}{2187}$.
$S_7 = \frac{9(1 - (\frac{2}{3})^7)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{9(1 - \frac{128}{2187})}{\frac{1}{3}} = \frac{9(\frac{2187 - 128}{2187})}{\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot \frac{2059}{2187}}{\frac{1}{3}}$.
$S_7 = 9 \cdot \frac{2059}{2187} \cdot 3 = 27 \cdot \frac{2059}{2187}$.
Так как $2187 = 3^7 = 27 \cdot 81$, то $S_7 = 27 \cdot \frac{2059}{27 \cdot 81} = \frac{2059}{81}$.
Ответ: $\frac{2059}{81}$

в) $b_3 = 64$, $q = \frac{1}{2}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{2}$.
Подставим заданные значения: $64 = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = b_1 \cdot \frac{1}{4}$.
Отсюда $b_1 = 64 \cdot 4 = 256$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}$.
$S_7 = \frac{256(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{256(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{256(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{\frac{256 \cdot 127}{128}}{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot 127}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508$.
Ответ: $508$

г) $b_4 = 81$, $q = -\frac{1}{3}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$ имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{3}$.
Подставим заданные значения: $81 = b_1 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = b_1 \cdot (-\frac{1}{27})$.
Отсюда $b_1 = 81 \cdot (-27) = -2187$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{3^7} = -\frac{1}{2187}$.
$S_7 = \frac{-2187(1 - (-\frac{1}{2187}))}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-2187(1 + \frac{1}{2187})}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-2187(\frac{2187+1}{2187})}{\frac{4}{3}}$.
$S_7 = \frac{-2187 \cdot \frac{2188}{2187}}{\frac{4}{3}} = \frac{-2188}{\frac{4}{3}} = -2188 \cdot \frac{3}{4}$.
Сократив 2188 на 4, получим 547.
$S_7 = -547 \cdot 3 = -1641$.
Ответ: $-1641$