Номер 627, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 627, страница 178.

Условие.

627. Решите неравенство:

а) 1,5x – x² ≤ 0;

б) x² + x + 6 › 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для решения неравенства $1,5x - x^2 \le 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $1,5x - x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,5 - x) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1,5$.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $y = 1,5x - x^2$. Ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=1,5$. Так как ветви направлены вниз, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) за пределами интервала между корнями и положительными (больше нуля) внутри этого интервала.

Нас интересуют значения $x$, при которых $1,5x - x^2 \le 0$, то есть где функция неположительна. Это происходит, когда $x$ находится левее первого корня (включая корень) или правее второго корня (включая корень).

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1,5; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $x^2 + x + 6 > 0$ рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 6$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем корни уравнения $x^2 + x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ох, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение выражения $x^2 + x + 6$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 + x + 6 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.