Номер 630, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 630, страница 181.

Условие.

630. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$. Требуется доказать, что $S_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ для любого натурального $n$.

1. База индукции

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть равенства: $S_1 = 1 \cdot (1+1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть равенства: $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$.

Поскольку $2=2$, равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, предположим, что верно:

$S_k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$.

3. Индукционный переход

Докажем, что из справедливости равенства для $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$S_{k+1} = \left(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)\right) + (k+1)(k+2)$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:

$S_{k+1} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left(\frac{1}{3}k + 1\right)$.

Преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$\frac{1}{3}k + 1 = \frac{k}{3} + \frac{3}{3} = \frac{k+3}{3}$.

Подставим полученное выражение обратно:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \cdot \frac{k+3}{3} = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$.

Мы получили выражение, которое совпадает с правой частью равенства для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Заключение

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции исходное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.