Номер 633, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 633, страница 182.

Условие.

633. Пусть (bₙ) — последовательность, в которой

b₁ = –3, bₖ ₊ ₁ = bₖ + 6k + 3.

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bₙ = 3n² – 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что последовательность, заданная рекуррентно ($b_1 = -3$, $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$), может быть задана формулой $b_n = 3n^2 - 6$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции (n=1)

Проверим, выполняется ли данное равенство для первого члена последовательности.

По условию, $b_1 = -3$.

Согласно предложенной формуле, при $n=1$ получаем:

$b_1 = 3 \cdot 1^2 - 6 = 3 - 6 = -3$.

Так как значения совпали, формула верна для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, то есть:

$b_k = 3k^2 - 6$.

3. Индукционный шаг

Докажем, что если наше предположение верно для $n=k$, то оно будет верным и для следующего члена последовательности, то есть для $n=k+1$. Иными словами, докажем, что $b_{k+1} = 3(k+1)^2 - 6$.

Для нахождения $b_{k+1}$ воспользуемся рекуррентной формулой из условия:

$b_{k+1} = b_k + 6k + 3$.

Подставим в неё выражение для $b_k$ из нашего индукционного предположения:

$b_{k+1} = (3k^2 - 6) + 6k + 3$.

Упростим полученное выражение:

$b_{k+1} = 3k^2 + 6k - 3$.

Теперь преобразуем правую часть формулы, которую мы хотим доказать, для $n=k+1$:

$3(k+1)^2 - 6 = 3(k^2 + 2k + 1) - 6 = 3k^2 + 6k + 3 - 6 = 3k^2 + 6k - 3$.

Результаты совпали. Следовательно, мы доказали, что из верности формулы для $n=k$ следует её верность для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, мы заключаем, что формула $b_n = 3n^2 - 6$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.