Номер 635, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 31. Метод математической индукции - номер 635, страница 182.

Условие.

635. Докажите, что разность 49ⁿ – 1 кратна 48 при любом натуральном n.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что выражение $49^n - 1$ делится на 48 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование формулы разности степеней

Воспользуемся известной формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 1$. Заметим, что $1$ можно представить как $1^n$, так как $1$ в любой натуральной степени равен $1$. Тогда выражение $49^n - 1$ можно переписать как $49^n - 1^n$.

Применим формулу:

$49^n - 1^n = (49 - 1)(49^{n-1} \cdot 1^0 + 49^{n-2} \cdot 1^1 + \dots + 49^1 \cdot 1^{n-2} + 49^0 \cdot 1^{n-1})$

$49^n - 1 = 48 \cdot (49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1)$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), все слагаемые в скобках $(49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 1)$ являются целыми числами. Следовательно, их сумма также является целым числом.

Пусть $k = 49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1$, где $k$ — целое число. Тогда исходное выражение можно представить в виде $48k$. Это по определению означает, что выражение $49^n - 1$ делится на 48 нацело при любом натуральном $n$.

Ответ: Делимость доказана. Выражение $49^n - 1$ представлено в виде произведения $48 \cdot (49^{n-1} + \dots + 1)$, где второй множитель является целым числом, что доказывает кратность 48.

Способ 2: Метод математической индукции

Доказательство по индукции состоит из двух шагов: базового случая и индукционного перехода.

1. База индукции. Проверим утверждение для наименьшего натурального числа, $n = 1$.

При $n=1$ выражение принимает вид: $49^1 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 48 ($48 = 48 \cdot 1$), следовательно, для $n=1$ утверждение верно.

2. Индукционный переход. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $49^k - 1$ кратно 48. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $49^k - 1 = 48m$. Отсюда можно выразить $49^k = 48m + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа, $n = k+1$. То есть нам нужно доказать, что $49^{k+1} - 1$ кратно 48.

Рассмотрим выражение $49^{k+1} - 1 = 49 \cdot 49^k - 1$.

Используем наше предположение индукции ($49^k = 48m + 1$) и подставим его в выражение:

$49 \cdot (48m + 1) - 1 = 49 \cdot 48m + 49 \cdot 1 - 1 = 49 \cdot 48m + 48$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$48 \cdot (49m + 1)$

Поскольку $m$ — целое число, то $49m + 1$ также является целым числом. Таким образом, мы представили $49^{k+1} - 1$ в виде произведения числа 48 на целое число, что доказывает его делимость на 48.

Согласно принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Делимость доказана. С помощью метода математической индукции показано, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$, а так как оно верно для $n=1$, то оно верно для любого натурального $n$.

Способ 3: Использование бинома Ньютона

Представим число 49 в виде суммы $48 + 1$. Тогда исходное выражение примет вид $(48+1)^n - 1$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$

Подставим $a=48$ и $b=1$:

$(48+1)^n = \binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} \cdot 1 + \dots + \binom{n}{n-1}48 \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{n}1^n$

Заметим, что все слагаемые в этом разложении, кроме последнего, содержат множитель 48. Последнее слагаемое равно $\binom{n}{n}1^n = 1 \cdot 1 = 1$.

Сгруппируем слагаемые:

$(48+1)^n = \left(\binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}48\right) + 1$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$(48+1)^n = 48 \cdot \left(\binom{n}{0}48^{n-1} + \binom{n}{1}48^{n-2} + \dots + \binom{n}{n-1}\right) + 1$

Выражение в скобках является суммой произведений целых чисел (биномиальные коэффициенты и степени 48), поэтому оно само является целым числом. Обозначим его как $K$.

Получаем: $49^n = (48+1)^n = 48K + 1$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$49^n - 1 = (48K + 1) - 1 = 48K$

Так как $K$ — целое число, то произведение $48K$ кратно 48.

Ответ: Делимость доказана. Применение бинома Ньютона к выражению $(48+1)^n$ показывает, что $49^n$ дает остаток 1 при делении на 48, следовательно, $49^n - 1$ делится на 48 нацело.