Номер 642, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 642, страница 183.

Условие.

642. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть три угла треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обозначим эти углы как $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$.

По свойству арифметической прогрессии, мы можем представить эти три угла через средний член прогрессии $a$ и ее разность $d$. Тогда углы треугольника будут равны:
$a - d$, $a$, $a + d$.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены, содержащие разность прогрессии $d$, взаимно уничтожаются:
$a - d + a + a + d = 180^\circ$
$3a = 180^\circ$

Отсюда находим значение среднего угла $a$:
$a = \frac{180^\circ}{3}$
$a = 60^\circ$

Таким образом, мы доказали, что один из углов треугольника, а именно средний по величине угол в арифметической прогрессии, всегда равен $60^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из них обязательно равен $60^\circ$.