Номер 643, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

643. Верно ли утверждение, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то:

а) последовательность a₂; a₄; … ; a₂ₙ; … является арифметической прогрессией;

б) последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; … ; aₙ – 1; … является арифметической прогрессией;

в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией;

г) последовательность a₁²; a²₂; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.Общий член прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Проверим утверждения для каждой из предложенных последовательностей.

а) последовательность $a_2; a_4; \dots; a_{2n}; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $(b_n)$, где $n$-й член $b_n = a_{2n}$. Чтобы проверить, является ли она арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ и убедиться, что она постоянна.

$b_{n+1} - b_n = a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n}$.

Используя формулу общего члена для исходной прогрессии $(a_n)$:

$a_{2n+2} = a_1 + (2n+2-1)d = a_1 + (2n+1)d$

$a_{2n} = a_1 + (2n-1)d$

Вычислим их разность:

$a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.

Разность новой последовательности равна $2d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то $2d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, верно.

б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; \dots; a_n - 1; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Найдем разность между соседними членами:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.

По определению арифметической прогрессии $(a_n)$, разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной.

Следовательно, последовательность $(a_n - 1)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

Ответ: да, верно.

в) последовательность $2a_1; 2a_2; \dots; 2a_n; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Найдем разность между соседними членами:

$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.

Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (константа), то разность для новой последовательности равна $2d$, что также является постоянной величиной.

Следовательно, последовательность $(2a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $2d$.

Ответ: да, верно.

г) последовательность $a_1^2; a_2^2; \dots; a_n^2; \dots$ является арифметической прогрессией?

Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Найдем разность между соседними членами:

$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.

Используя свойство $a_{n+1} = a_n + d$, получим:

$p_{n+1} - p_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = (a_n^2 + 2a_nd + d^2) - a_n^2 = 2a_nd + d^2 = d(2a_n + d)$.

Эта разность зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$). Следовательно, в общем случае она не является постоянной. Разность будет постоянной только если $d=0$ (т.е. исходная последовательность постоянна) или если $a_n$ не зависит от $n$, что опять же означает $d=0$.

Чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае, достаточно привести контрпример. Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$ и $d=1$.

Тогда последовательность $(a_n^2)$ будет: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$.

Найдем разности между ее членами:
$p_2 - p_1 = 4 - 1 = 3$
$p_3 - p_2 = 9 - 4 = 5$
$p_4 - p_3 = 16 - 9 = 7$

Разности не равны между собой ($3 \neq 5 \neq 7$), значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, в общем случае неверно.