Номер 636, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 636, страница 182.

Условие.

636. Пусть (uₙ) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u₁ = 1, u₂ = 1, uₙ ₊ ₂ = uₙ + uₙ ₊ ₁ при n › 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В задаче дана последовательность чисел Фибоначчи $(u_n)$. Она определяется начальными условиями $u_1=1$, $u_2=1$ и рекуррентным соотношением $u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$. Хотя в условии указано ограничение "при $n>2$", для однозначного определения всех членов последовательности, начиная с $u_3$, необходимо, чтобы это соотношение выполнялось при $n \ge 1$. Будем исходить из этого стандартного определения. Первые члены последовательности: $u_1=1, u_2=1, u_3=2, u_4=3, u_5=5, u_6=8, \dots$.

а)

Докажем тождество $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$ методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1 = 1$.
Правая часть равенства: $u_{2 \cdot 1} = u_2 = 1$.
Поскольку $1=1$, утверждение для $n=1$ верно.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть, $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} = u_{2k}$ (индукционное предположение).

Докажем, что из этого следует верность утверждения для $n=k+1$, а именно: $u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1} + u_{2(k+1)-1} = u_{2(k+1)}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства:
$S_{k+1} = (u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1}) + u_{2k+1}$.
Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках на $u_{2k}$:
$S_{k+1} = u_{2k} + u_{2k+1}$.
Согласно рекуррентному определению чисел Фибоначчи, $u_{m} + u_{m+1} = u_{m+2}$. При $m=2k$ получаем $u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2}$.
Следовательно, $S_{k+1} = u_{2k+2}$, что и является правой частью равенства для $n=k+1$.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Тождество $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$ доказано.

б)

Докажем тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть равенства: $u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1$.
Поскольку $1=1$, утверждение для $n=1$ верно.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть, $u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 = u_k u_{k+1}$ (индукционное предположение).

Докажем, что из этого следует верность утверждения для $n=k+1$, а именно: $u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_{k+1} u_{k+2}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства:
$T_{k+1} = (u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2) + u_{k+1}^2$.
Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках на $u_k u_{k+1}$:
$T_{k+1} = u_k u_{k+1} + u_{k+1}^2$.
Вынесем общий множитель $u_{k+1}$ за скобки:
$T_{k+1} = u_{k+1}(u_k + u_{k+1})$.
Согласно рекуррентному определению чисел Фибоначчи, $u_k + u_{k+1} = u_{k+2}$. Подставив это в наше выражение, получаем:
$T_{k+1} = u_{k+1} u_{k+2}$.
Это совпадает с правой частью равенства для $n=k+1$.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ доказано.