Номер 629, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 629, страница 181.

Условие.

629. Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула

Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула

Требуется проверить справедливость равенства $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ для первых трех натуральных чисел.

Для n = 1:
Левая часть (сумма): $1^3 = 1$.
Правая часть (формула): $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как $1=1$, равенство верно.

Для n = 2:
Левая часть: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть: $\frac{2^2(2+1)^2}{4} = \frac{4 \cdot 3^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$.
Так как $9=9$, равенство верно.

Для n = 3:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $\frac{3^2(3+1)^2}{4} = \frac{9 \cdot 4^2}{4} = \frac{9 \cdot 16}{4} = 36$.
Так как $36=36$, равенство верно.

Ответ: Проверка показала, что формула верна для $n = 1, 2, 3$.

Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n

Доказательство проведем методом математической индукции. Обозначим утверждение, которое нужно доказать, как $P(n)$: $P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

Шаг 1: База индукции
Проверим истинность утверждения $P(1)$. При $n=1$, левая часть равна $1^3 = 1$. Правая часть равна $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1$. Утверждение $P(1)$ истинно, база индукции установлена.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верно равенство: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Шаг 3: Индукционный переход
Нам нужно доказать, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. Утверждение $P(k+1)$ выглядит так: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Выделим в ней сумму кубов от 1 до $k$: $LHS = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3$.

Согласно индукционному предположению (Шаг 2), заменим сумму в скобках: $LHS = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Теперь преобразуем это выражение. Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)^2$: $LHS = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2 [k^2 + 4(k+1)]}{4}$.

Раскроем скобки в числителе: $LHS = \frac{(k+1)^2 (k^2 + 4k + 4)}{4}$.

Выражение в скобках, $k^2 + 4k + 4$, является полным квадратом $(k+2)^2$. Подставим его обратно: $LHS = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью утверждения $P(k+1)$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Так как база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Формула доказана для всех натуральных $n$ методом математической индукции.