Номер 632, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 632, страница 182.

Условие.

632. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажем данное равенство методом математической индукции. Обозначим доказываемое утверждение как $P(n)$: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$.

1. База индукции

Проверим верность утверждения для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства при $n=1$:
$1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть равенства при $n=1$:
$1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Поскольку $4=4$, левая часть равна правой, следовательно, утверждение $P(1)$ верно.

2. Индукционный переход

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, выполняется равенство (это наше индукционное предположение):

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Докажем, что в этом случае утверждение $P(k+1)$ также будет верным. Утверждение $P(k+1)$ выглядит так:

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)((k+1) + 1)^2$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Сумма первых $k$ слагаемых, согласно индукционному предположению, равна $k(k + 1)^2$. Заменим эту сумму:

$k(k + 1)^2 + (k+1)(3(k+1) + 1)$

Преобразуем полученное выражение. Сначала упростим второе слагаемое в скобках:

$(k+1)(3k+3+1) = (k+1)(3k+4)$

Теперь всё выражение выглядит так:

$k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:

$(k+1) [k(k+1) + (3k+4)] = (k+1) [k^2 + k + 3k + 4] = (k+1)(k^2 + 4k + 4)$

Выражение в скобках $k^2 + 4k + 4$ является полным квадратом $(k+2)^2$. Таким образом, получаем:

$(k+1)(k+2)^2$

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства для $n=k+1$:

$(k+1)((k+1) + 1)^2 = (k+1)(k+2)^2$

Левая и правая части совпали. Это означает, что если утверждение верно для $n=k$, оно верно и для $n=k+1$.

Поскольку утверждение верно для $n=1$ (база индукции) и мы доказали индукционный переход, то по принципу математической индукции равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ верно равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$.