Номер 3, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 178.

Условие.

3. Запишите формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Решение 1.

Решение 8.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Обозначим:

• $b_1$ — первый член прогрессии;
• $q$ — знаменатель прогрессии ($q \neq 0$);
• $n$ — номер члена прогрессии;
• $b_n$ — n-й член прогрессии.

По определению, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$
...

Как видно из этого ряда, для нахождения любого члена прогрессии с номером $n$ нужно первый член $b_1$ умножить на знаменатель $q$ в степени $n-1$.

Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии обозначается как $S_n$.
$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

Для вывода формулы запишем сумму, используя формулу n-го члена:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем из второго равенства первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Если знаменатель $q \neq 1$, то мы можем разделить обе части на $(q - 1)$ и получить формулу суммы.
Если же $q = 1$, то все члены прогрессии равны первому члену $b_1$, и сумма будет равна $S_n = n \cdot b_1$.

Формулу для $q \neq 1$ также можно записать в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, умножив числитель и знаменатель на -1. Этот вид удобен, когда $|q| < 1$.

Ответ:
При $q \neq 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
При $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$