Номер 634, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Метод математической индукции. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 634, страница 182.

Условие.

634. Докажите, что последовательность (aₙ), в которой a₁ = –5, aₖ ₊ ₁ = aₖ + 10k + 5, можно задать формулой aₙ = 5n² – 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что последовательность $(a_n)$, заданная рекуррентно как $a_1 = -5$ и $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$, может быть задана формулой $a_n = 5n^2 - 10$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость формулы для начального значения $n=1$.

Согласно условию задачи, первый член последовательности $a_1 = -5$.

Теперь вычислим значение $a_1$ по предложенной формуле $a_n = 5n^2 - 10$: $a_1 = 5(1)^2 - 10 = 5 \cdot 1 - 10 = 5 - 10 = -5$.

Полученные значения совпадают, следовательно, формула верна для $n=1$.

2. Индукционный шаг.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$. Это является нашим индукционным предположением: $a_k = 5k^2 - 10$.

Докажем, что в этом случае формула будет верна и для следующего числа $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $a_{k+1} = 5(k+1)^2 - 10$.

Для нахождения $a_{k+1}$ воспользуемся рекуррентной формулой из условия задачи: $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$.

Подставим в это равенство выражение для $a_k$ из индукционного предположения: $a_{k+1} = (5k^2 - 10) + 10k + 5$.

Упростим полученное выражение: $a_{k+1} = 5k^2 + 10k - 5$.

Теперь преобразуем правую часть формулы, которую мы хотим доказать для $n=k+1$: $5(k+1)^2 - 10 = 5(k^2 + 2k + 1) - 10 = 5k^2 + 10k + 5 - 10 = 5k^2 + 10k - 5$.

Мы видим, что выражение для $a_{k+1}$, выведенное из рекуррентной формулы, совпадает с выражением, полученным по формуле n-го члена при $n=k+1$. Следовательно, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что формула $a_n = 5n^2 - 10$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.