Номер 631, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

631. Докажите, что при любом натуральном n сумма

может быть вычислена по формуле Sₙ = $\frac{n}{n+1}$.

Для доказательства того, что сумма $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ равна $\frac{n}{n+1}$ при любом натуральном $n$, воспользуемся методом телескопической суммы.

Идея метода заключается в том, чтобы представить каждый член суммы в виде разности двух последовательных членов некоторой другой последовательности. Тогда при суммировании все промежуточные члены сократятся.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$, где $k$ — натуральное число от 1 до $n$.

Представим эту дробь в виде разности двух дробей. Заметим, что $k+1 - k = 1$. Это позволяет нам преобразовать числитель:

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)}$

Теперь разделим дробь на две:

$\frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Таким образом, каждый член исходной суммы можно представить в виде разности:

$a_k = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Теперь перепишем всю сумму $S_n$, подставляя это разложение для каждого члена:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

Расписав сумму по слагаемым, получаем:

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Как видно из развернутой записи, второй член каждой скобки уничтожается с первым членом следующей скобки:

$S_n = 1 - \cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \dots - \cancel{\frac{1}{n}} + \cancel{\frac{1}{n}} - \frac{1}{n+1}$

После всех сокращений в сумме остаются только первый член от первого слагаемого ($\frac{1}{1}$) и последний член от последнего слагаемого ($-\frac{1}{n+1}$):

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$S_n = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

Мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать. Таким образом, утверждение доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ действительно равна $\frac{n}{n+1}$.