Номер 2, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 2, страница 178.

Условие.

2. Как выражается квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Решение 1.

Решение 8.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q$, где $q \ne 0$.

По определению геометрической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Это можно записать в виде формулы для любого натурального числа $n \ge 2$:

$b_n = b_{n-1} \cdot q$

Возьмем произвольный член прогрессии $b_n$ при условии, что $n \ge 2$. Для этого члена предыдущим является $b_{n-1}$, а последующим — $b_{n+1}$.

Давайте выразим последующий член $b_{n+1}$ через $b_n$:

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Теперь выразим знаменатель $q$ из этого соотношения (при условии, что $b_n \ne 0$):

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Подставим полученное выражение для $q$ в исходную формулу $b_n = b_{n-1} \cdot q$:

$b_n = b_{n-1} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя в правой части, умножим обе части равенства на $b_n$:

$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

В результате получаем искомую формулу:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это свойство является характеристическим для геометрической прогрессии. Оно утверждает, что квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов: предыдущего и последующего. Также это означает, что модуль любого члена прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим его соседних членов: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Ответ: Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его предыдущего и последующего членов. Если обозначить произвольный член прогрессии как $b_n$ (где $n \ge 2$), предыдущий член как $b_{n-1}$, а последующий как $b_{n+1}$, то искомое выражение имеет вид: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.