Номер 623, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

623. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 6 и b₄ = 54, если известно, что все её члены положительны.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Нам даны второй и четвертый члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 6$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 54$

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим выражение для $b_4$ на выражение для $b_2$:

$\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q}$

Подставим известные значения:

$\frac{54}{6} = q^2$

$9 = q^2$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $q$: $q = 3$ и $q = -3$.

По условию задачи все члены прогрессии положительны. Если бы знаменатель $q$ был отрицательным ($q = -3$), то знаки членов прогрессии чередовались бы. Поскольку $b_2 = 6$ (положительное число), $b_3$ был бы равен $b_2 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$ (отрицательное число), что противоречит условию. Следовательно, знаменатель прогрессии $q$ должен быть положительным.

Таким образом, $q = 3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу для $b_2$:

$b_1 \cdot q = 6$

$b_1 \cdot 3 = 6$

$b_1 = \frac{6}{3} = 2$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам нужно найти сумму первых семи членов ($n=7$). Подставим в формулу известные значения $b_1 = 2$ и $q = 3$:

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^7$:

$3^7 = 2187$

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_7 = \frac{2(2187 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 2186}{2} = 2186$

Ответ: 2186