Номер 616, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

616. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.
Если $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Во всех случаях нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

а)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 3$, а второй член $b_2 = -6$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot ((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3 \cdot (64 - 1)}{-3} = \frac{3 \cdot 63}{-3} = -63$.

Ответ: -63.

б)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 54$, а второй член $b_2 = 36$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{54 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot (\frac{729 - 64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = 54 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = 162 \cdot \frac{665}{729}$.

Сократим дробь, зная, что $162 = 2 \cdot 81$ и $729 = 9 \cdot 81$:
$S_6 = \frac{2 \cdot 81 \cdot 665}{9 \cdot 81} = \frac{2 \cdot 665}{9} = \frac{1330}{9}$.

Ответ: $\frac{1330}{9}$ (или $147\frac{7}{9}$).

в)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = -32$, а второй член $b_2 = -16$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{-32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = -32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = -64 \cdot \frac{63}{64} = -63$.

Ответ: -63.

г)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 1$, а второй член $b_2 = \frac{1}{2}$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{63}{32}$.

Ответ: $\frac{63}{32}$ (или $1\frac{31}{32}$).