Номер 614, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии - номер 614, страница 174.

Условие.

614. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $2x^2 - 13x - 34 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 13x - 34 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441$

Корни уравнения равны:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 21}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 21}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$

Графиком функции $y = 2x^2 - 13x - 34$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -2$ или $x \ge 8.5$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [8.5; +\infty)$.

б) $10x - 4x^2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$4x^2 - 10x > 0$

Теперь решим уравнение $4x^2 - 10x = 0$, чтобы найти его корни. Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(2x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = 2.5$

Графиком функции $y = 4x^2 - 10x$ является парабола с ветвями вверх ($4 > 0$). Значения функции положительны ($y > 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2.5$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty)$.

в) $\frac{x - 4}{2x + 5} \le 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя:

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка включается в решение (закрашенная точка на числовой оси).

Нуль знаменателя:

$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из решения (выколотая точка на числовой оси).

Отметим точки $-2.5$ и $4$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-4}{2(-3)+5} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".
• При $-2.5 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{2(0)+5} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{2(5)+5} = \frac{1}{15} > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(-2.5; 4)$, а также точка $x=4$, где выражение равно нулю. Точка $x=-2.5$ исключается.

Ответ: $(-2.5; 4]$.