Номер 614, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 614, страница 174.
№614 (с. 174)
Условие. №614 (с. 174)
скриншот условия

614. Решите неравенство:

Решение 1. №614 (с. 174)



Решение 2. №614 (с. 174)



Решение 3. №614 (с. 174)

Решение 4. №614 (с. 174)

Решение 5. №614 (с. 174)

Решение 7. №614 (с. 174)

Решение 8. №614 (с. 174)
а) $2x^2 - 13x - 34 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 13x - 34 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441$
Корни уравнения равны:
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 21}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 21}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$
Графиком функции $y = 2x^2 - 13x - 34$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -2$ или $x \ge 8.5$.
Ответ: $(-\infty; -2] \cup [8.5; +\infty)$.
б) $10x - 4x^2 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$4x^2 - 10x > 0$
Теперь решим уравнение $4x^2 - 10x = 0$, чтобы найти его корни. Вынесем общий множитель за скобки:
$2x(2x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = 2.5$
Графиком функции $y = 4x^2 - 10x$ является парабола с ветвями вверх ($4 > 0$). Значения функции положительны ($y > 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2.5$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty)$.
в) $\frac{x - 4}{2x + 5} \le 0$
Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя:
$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка включается в решение (закрашенная точка на числовой оси).
Нуль знаменателя:
$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5$
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из решения (выколотая точка на числовой оси).
Отметим точки $-2.5$ и $4$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-4}{2(-3)+5} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".
- При $-2.5 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{2(0)+5} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{2(5)+5} = \frac{1}{15} > 0$. Знак "+".
Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(-2.5; 4)$, а также точка $x=4$, где выражение равно нулю. Точка $x=-2.5$ исключается.
Ответ: $(-2.5; 4]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 614 расположенного на странице 174 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №614 (с. 174), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.