Страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

612. (Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

3) Составьте уравнение и решите его.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.
Предположим, что длины сторон $a$, $b$ и $c$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть первый член этой прогрессии равен $x$, а знаменатель равен $q$. Так как длины сторон должны быть положительными, $x > 0$.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Чтобы члены прогрессии возрастали, её знаменатель должен быть больше единицы, то есть $q > 1$.
Тогда стороны треугольника в порядке возрастания их длин можно записать как $x$, $xq$, $xq^2$.
Самая длинная сторона — гипотенуза $c = xq^2$. Катеты — это $a$ и $b$. Мы можем положить $a = x$ и $b = xq$.
Итак, мы имеем:
Катет $a = x$
Катет $b = xq$
Гипотенуза $c = xq^2$
Ответ: Введены обозначения для сторон прямоугольного треугольника ($a$, $b$, $c$), и они выражены через члены геометрической прогрессии ($x, xq, xq^2$) со знаменателем $q > 1$.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение между длинами его сторон, известное как теорема Пифагора. Она гласит, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Математически это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$.
Эту теорему мы и будем использовать для проверки нашего предположения.
Ответ: Можно использовать теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

3) Составьте уравнение и решите его.

Подставим выражения для сторон $a, b, c$ через $x$ и $q$ в уравнение теоремы Пифагора:
$(x)^2 + (xq)^2 = (xq^2)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + x^2q^2 = x^2q^4$
Поскольку $x$ — это длина стороны, $x \ne 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:
$1 + q^2 = q^4$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $q$:
$q^4 - q^2 - 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = q^2$. Так как $q > 1$, то $y = q^2 > 1$. Уравнение примет вид:
$y^2 - y - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1, b=-1, c=-1$.
$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Мы получили два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Теперь вернёмся к замене $y = q^2$.
Рассмотрим $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $1 - \sqrt{5} < 0$, следовательно, $y_2 < 0$. Но $q^2$ не может быть отрицательным, поэтому этот корень является посторонним.
Рассмотрим $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Это число положительное (и больше 1), оно известно как "золотое сечение" и обозначается $\phi$.
Итак, $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Отсюда находим $q$, взяв положительный корень:
$q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
Поскольку $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 > 1$, то и $q > 1$, что соответствует нашему начальному условию.
Ответ: Уравнение $q^4 - q^2 - 1 = 0$ имеет единственный подходящий корень для знаменателя прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Вывод: Длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Это возможно, если знаменатель прогрессии $q$ равен $\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.
Проверка:
Мы должны убедиться, что при найденном значении $q$ выполняется равенство $1 + q^2 = q^4$. Это равенство было получено из теоремы Пифагора, поэтому проверка его выполнения докажет наше утверждение.
Мы знаем, что $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Найдём $q^4$:
$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Теперь найдём значение выражения $1 + q^2$:
$1 + q^2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $q^4$ действительно равно $1 + q^2$:
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
Равенство выполняется, следовательно, теорема Пифагора соблюдается. Таким образом, прямоугольный треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию с таким знаменателем, существует.
Ответ: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Проверка подтверждает, что при знаменателе прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$ теорема Пифагора выполняется.

613. Найдите координаты точки, принадлежащей графику уравнения x² – y² = 30, если известно, что их сумма равна 5.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.

Согласно условию, точка принадлежит графику уравнения $x^2 - y^2 = 30$, и сумма ее координат равна 5, то есть $x + y = 5$.

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 30 \\ x + y = 5 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y) = 30$

Мы знаем из второго уравнения, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y) \cdot 5 = 30$

Теперь мы можем найти значение выражения $x - y$:

$x - y = \frac{30}{5}$

$x - y = 6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 6 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 5 + 6$

$2x = 11$

$x = \frac{11}{2} = 5.5$

Теперь подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение $x + y = 5$, чтобы найти $y$:

$5.5 + y = 5$

$y = 5 - 5.5$

$y = -0.5$

Следовательно, координаты искомой точки — $(5.5; -0.5)$.

Ответ: $(5.5; -0.5)$

614. Решите неравенство:

а) $2x^2 - 13x - 34 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 13x - 34 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441$

Корни уравнения равны:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 21}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 21}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$

Графиком функции $y = 2x^2 - 13x - 34$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -2$ или $x \ge 8.5$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [8.5; +\infty)$.

б) $10x - 4x^2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$4x^2 - 10x > 0$

Теперь решим уравнение $4x^2 - 10x = 0$, чтобы найти его корни. Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(2x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = 2.5$

Графиком функции $y = 4x^2 - 10x$ является парабола с ветвями вверх ($4 > 0$). Значения функции положительны ($y > 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2.5$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty)$.

в) $\frac{x - 4}{2x + 5} \le 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя:

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка включается в решение (закрашенная точка на числовой оси).

Нуль знаменателя:

$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из решения (выколотая точка на числовой оси).

Отметим точки $-2.5$ и $4$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-4}{2(-3)+5} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".
• При $-2.5 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{2(0)+5} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{2(5)+5} = \frac{1}{15} > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(-2.5; 4)$, а также точка $x=4$, где выражение равно нулю. Точка $x=-2.5$ исключается.

Ответ: $(-2.5; 4]$.