Страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

615. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти. В обоих случаях $n=5$.

а)

Дано: первый член прогрессии $b_1 = 8$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых пяти членов ($n=5$):

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

Сначала вычислим значение $q^5$:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение в числителе дроби:

$8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{8 \cdot 31}{32} = \frac{31}{4}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{31 \cdot 2}{4} = \frac{31}{2} = 15,5$

Ответ: 15,5

б)

Дано: первый член прогрессии $b_1 = 500$ и знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых пяти членов ($n=5$):

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Сначала вычислим значение $q^5$:

$(\frac{1}{5})^5 = \frac{1^5}{5^5} = \frac{1}{3125}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - \frac{1}{3125})}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot (\frac{3125}{3125} - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = \frac{500 \cdot 3124}{3125} \cdot \frac{5}{4}$

Сократим дроби: $500$ и $4$ на $4$, $5$ и $3125$ на $5$.

$S_5 = \frac{125 \cdot 3124}{3125} \cdot \frac{5}{1} = \frac{125 \cdot 5 \cdot 3124}{3125} = \frac{625 \cdot 3124}{3125}$

Сократим $625$ и $3125$ на $625$ ($3125 = 5 \cdot 625$):

$S_5 = \frac{3124}{5} = 624,8$

Ответ: 624,8

616. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.
Если $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Во всех случаях нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

а)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 3$, а второй член $b_2 = -6$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot ((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3 \cdot (64 - 1)}{-3} = \frac{3 \cdot 63}{-3} = -63$.

Ответ: -63.

б)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 54$, а второй член $b_2 = 36$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{54 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot (\frac{729 - 64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = 54 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = 162 \cdot \frac{665}{729}$.

Сократим дробь, зная, что $162 = 2 \cdot 81$ и $729 = 9 \cdot 81$:
$S_6 = \frac{2 \cdot 81 \cdot 665}{9 \cdot 81} = \frac{2 \cdot 665}{9} = \frac{1330}{9}$.

Ответ: $\frac{1330}{9}$ (или $147\frac{7}{9}$).

в)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = -32$, а второй член $b_2 = -16$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{-32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = -32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = -64 \cdot \frac{63}{64} = -63$.

Ответ: -63.

г)

Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 1$, а второй член $b_2 = \frac{1}{2}$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ для суммы первых шести членов ($n=6$):
$S_6 = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$.

Упростим выражение:
$S_6 = \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{63}{32}$.

Ответ: $\frac{63}{32}$ (или $1\frac{31}{32}$).

617. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

Для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов. Во всех случаях $n=9$.

а) Дано: $c_1 = -4$, $q = 3$.

Подставим значения в формулу суммы:

$S_9 = \frac{-4(3^9 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^9$:

$3^9 = 19683$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-4(19683 - 1)}{2} = \frac{-4 \cdot 19682}{2} = -2 \cdot 19682 = -39364$

Ответ: $-39364$

б) Дано: $c_1 = 1$, $q = -2$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{1 \cdot ((-2)^9 - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим $(-2)^9$:

$(-2)^9 = -512$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-512 - 1}{-3} = \frac{-513}{-3} = 171$

Ответ: $171$

в) Дано: $c_1 = -2$, $q = 2$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{-2(2^9 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^9$:

$2^9 = 512$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-2(512 - 1)}{1} = -2 \cdot 511 = -1022$

Ответ: $-1022$

г) Дано: $c_1 = 32$, $q = -0.5$.

Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $q = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{32((-\frac{1}{2})^9 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1}$

Вычислим $(-\frac{1}{2})^9$:

$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{32(-\frac{1}{512} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{32(-\frac{1}{512} - \frac{512}{512})}{-\frac{3}{2}} = \frac{32(-\frac{513}{512})}{-\frac{3}{2}}$

При делении на дробь, мы умножаем на обратную ей. Знак "минус" в числителе и знаменателе сокращается:

$S_9 = 32 \cdot \frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим дроби:

$S_9 = \frac{32 \cdot 2}{512} \cdot \frac{513}{3} = \frac{64}{512} \cdot 171 = \frac{1}{8} \cdot 171 = \frac{171}{8} = 21.375$

Ответ: $21.375$

618. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n её членов, если:

1) Обсудите ход доказательства.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Чтобы доказать, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену есть постоянное число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Таким образом, для доказательства нам нужно проверить, является ли отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ константой (не зависит от $n$).

Если последовательность является геометрической прогрессией, то для нахождения суммы ее первых $n$ членов используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель ($q \neq 1$).

Выполним задания.

а) Дана последовательность $b_n = 0,2 \cdot 5^n$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = 0,2 \cdot 5^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{0,2 \cdot 5^{n+1}}{0,2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{(n+1)-n} = 5^1 = 5$.
Так как отношение $q=5$ является постоянным числом, не зависящим от $n$, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=5$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 0,2 \cdot 5 = 1$.
Теперь используем формулу суммы для $b_1=1$ и $q=5$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=5$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) Дана последовательность $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Используем формулу суммы для $b_1=3$ и $q=2$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=2$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 3(2^n - 1)$.

в) Дана последовательность $b_n = 3^{1+n}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 3^{1+(n+1)} = 3^{n+2}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+2}}{3^{1+n}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1 = 3$.
Так как отношение $q=3$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.
Используем формулу суммы для $b_1=9$ и $q=3$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2} = 4,5(3^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=3$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 4,5(3^n - 1)$.

г) Дана последовательность $b_n = 2^{n+2}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+3}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2^{(n+3)-(n+2)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Используем формулу суммы для $b_1=8$ и $q=2$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{8 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{8(2^n - 1)}{1} = 8(2^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=2$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 8(2^n - 1)$.

619. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии, при условии что $q \neq 1$.

а) В прогрессии $1; 3; 3^2; \dots$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{3}{1} = 3$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

б) В прогрессии $2; 2^2; 2^3; \dots$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{1} = 2(2^n - 1)$.
Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

в) В прогрессии $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_n = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = -\frac{1}{3}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right) = \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-1/2)^n}{3}$.

г) В прогрессии $1; -x; x^2; \dots$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $q \neq 1$ ($ -x \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq -1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((-x)^n - 1)}{-x - 1} = \frac{(-x)^n - 1}{-(x + 1)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.

д) В прогрессии $1; x^2; x^4; \dots$ (где $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $q \neq 1$ ($x^2 \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq \pm 1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.
Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

е) В прогрессии $1; -x^3; x^6; \dots$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $q \neq 1$ ($-x^3 \neq 1$) выполняется, так как по условию $x \neq -1$. Подставляем значения в формулу: $S_n = \frac{1((-x^3)^n - 1)}{-x^3 - 1} = \frac{(-x^3)^n - 1}{-(x^3 + 1)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.

620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если:

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии $S_7$ используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Во всех случаях $n=7$.
Сначала необходимо найти первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

а) $b_7 = 72.9$, $q = 1.5$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=7$ имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{6}$.
Подставим заданные значения: $72.9 = b_1 \cdot (1.5)^6$.
Вычислим $(1.5)^6$: $1.5 = \frac{3}{2}$, поэтому $(1.5)^6 = (\frac{3}{2})^6 = \frac{3^6}{2^6} = \frac{729}{64}$.
Теперь решим уравнение для $b_1$: $\frac{729}{10} = b_1 \cdot \frac{729}{64}$.
Отсюда $b_1 = \frac{729}{10} \div \frac{729}{64} = \frac{729}{10} \cdot \frac{64}{729} = \frac{64}{10} = 6.4$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$.
Вычислим $q^7$: $(1.5)^7 = (\frac{3}{2})^7 = \frac{3^7}{2^7} = \frac{2187}{128}$.
$S_7 = \frac{6.4((1.5)^7 - 1)}{1.5 - 1} = \frac{6.4(\frac{2187}{128} - 1)}{0.5} = \frac{\frac{64}{10}(\frac{2187 - 128}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{64}{10} \cdot \frac{2059}{128}}{\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{64 \cdot 2059}{10 \cdot 128} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 2059}{10 \cdot 2} \cdot 2 = \frac{2059}{10} = 205.9$.
Ответ: $205.9$

б) $b_5 = \frac{16}{9}$, $q = \frac{2}{3}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$ имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.
Подставим заданные значения: $\frac{16}{9} = b_1 \cdot (\frac{2}{3})^4$.
Вычислим $q^4$: $(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Решим уравнение: $\frac{16}{9} = b_1 \cdot \frac{16}{81}$.
Отсюда $b_1 = \frac{16}{9} \div \frac{16}{81} = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{9} = 9$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Поскольку $|q| < 1$, удобнее использовать формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(\frac{2}{3})^7 = \frac{2^7}{3^7} = \frac{128}{2187}$.
$S_7 = \frac{9(1 - (\frac{2}{3})^7)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{9(1 - \frac{128}{2187})}{\frac{1}{3}} = \frac{9(\frac{2187 - 128}{2187})}{\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot \frac{2059}{2187}}{\frac{1}{3}}$.
$S_7 = 9 \cdot \frac{2059}{2187} \cdot 3 = 27 \cdot \frac{2059}{2187}$.
Так как $2187 = 3^7 = 27 \cdot 81$, то $S_7 = 27 \cdot \frac{2059}{27 \cdot 81} = \frac{2059}{81}$.
Ответ: $\frac{2059}{81}$

в) $b_3 = 64$, $q = \frac{1}{2}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{2}$.
Подставим заданные значения: $64 = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = b_1 \cdot \frac{1}{4}$.
Отсюда $b_1 = 64 \cdot 4 = 256$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}$.
$S_7 = \frac{256(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{256(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{256(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{\frac{256 \cdot 127}{128}}{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot 127}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508$.
Ответ: $508$

г) $b_4 = 81$, $q = -\frac{1}{3}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$ имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{3}$.
Подставим заданные значения: $81 = b_1 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = b_1 \cdot (-\frac{1}{27})$.
Отсюда $b_1 = 81 \cdot (-27) = -2187$.

2. Найдем сумму первых семи членов $S_7$.
Используем формулу $S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}$.
Вычислим $q^7$: $(-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{3^7} = -\frac{1}{2187}$.
$S_7 = \frac{-2187(1 - (-\frac{1}{2187}))}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-2187(1 + \frac{1}{2187})}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-2187(\frac{2187+1}{2187})}{\frac{4}{3}}$.
$S_7 = \frac{-2187 \cdot \frac{2188}{2187}}{\frac{4}{3}} = \frac{-2188}{\frac{4}{3}} = -2188 \cdot \frac{3}{4}$.
Сократив 2188 на 4, получим 547.
$S_7 = -547 \cdot 3 = -1641$.
Ответ: $-1641$

621. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если:

а)
Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии $S_5$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель, $n$ — количество членов.
Сначала найдем первый член прогрессии $x_1$, используя формулу n-го члена $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Нам даны $x_5 = 1\frac{1}{9}$ и $q = \frac{1}{3}$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $x_5 = 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Подставим известные значения в формулу для пятого члена ($n=5$):
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot (\frac{1}{3})^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \frac{1}{81}$
Отсюда находим $x_1$:
$x_1 = \frac{10}{9} \cdot 81 = 10 \cdot 9 = 90$.
Теперь, зная $x_1 = 90$ и $q = \frac{1}{3}$, вычислим сумму первых пяти членов $S_5$:
$S_5 = \frac{x_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{90((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$
Вычислим знаменатель дроби: $\frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3}$.
Вычислим числитель дроби: $90((\frac{1}{3})^5 - 1) = 90(\frac{1}{243} - 1) = 90(\frac{1 - 243}{243}) = 90(-\frac{242}{243})$.
Теперь найдем значение $S_5$:
$S_5 = \frac{90(-\frac{242}{243})}{-\frac{2}{3}} = \frac{90 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{45 \cdot 242 \cdot 3}{243} = \frac{45 \cdot 242}{81} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 242}{9 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 242}{9} = \frac{1210}{9}$.
Переведем неправильную дробь в смешанную:
$\frac{1210}{9} = 134\frac{4}{9}$.
Ответ: $134\frac{4}{9}$.

б)
Даны $x_4 = 121,5$ и $q = -3$. Требуется найти $S_5$.
Как и в предыдущем пункте, сначала найдем первый член прогрессии $x_1$, используя формулу $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения ($n=4$):
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-3)^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-27)$
Отсюда находим $x_1$:
$x_1 = \frac{121,5}{-27} = -4,5$.
Теперь, зная $x_1 = -4,5$ и $q = -3$, вычислим сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{-4,5((-3)^5 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим знаменатель: $-3 - 1 = -4$.
Вычислим значение в скобках в числителе: $(-3)^5 - 1 = -243 - 1 = -244$.
Теперь найдем значение $S_5$:
$S_5 = \frac{-4,5 \cdot (-244)}{-4} = \frac{1107}{-4} = -276,75$.
Проверим вычисления:
$S_5 = \frac{-4,5(-244)}{-4} = -4,5 \cdot \frac{-244}{-4} = -4,5 \cdot 61$.
$-4,5 \cdot 61 = -(4 \cdot 61 + 0,5 \cdot 61) = -(244 + 30,5) = -274,5$.
Ответ: $-274,5$.

622. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый равен 162. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётной — положительны.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Согласно условию задачи, нам даны следующие данные:
Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
Пятый член прогрессии $b_5 = 162$.
Члены с нечётными номерами ($b_1, b_3, \dots$) — положительны, а с чётными ($b_2, b_4, \dots$) — отрицательны.

Для решения задачи необходимо сначала найти знаменатель прогрессии $q$, а затем вычислить сумму её первых шести членов $S_6$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии $q$
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для пятого члена ($n=5$) имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.
Подставим известные значения $b_1=2$ и $b_5=162$ в формулу:
$162 = 2 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$q^4 = \frac{162}{2}$
$q^4 = 81$
Это уравнение имеет два действительных решения: $q = 3$ и $q = -3$.
Чтобы выбрать правильное значение, обратимся к условию о знаках членов прогрессии. Поскольку первый член $b_1 = 2$ положителен, а второй член $b_2$ должен быть отрицательным, их отношение, то есть знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1}$, должен быть отрицательным числом.
Следовательно, мы выбираем значение $q = -3$.

2. Вычисление суммы первых шести членов $S_6$
Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Нам нужно найти сумму первых шести членов, поэтому $n=6$. Подставим в формулу известные значения $b_1=2$ и $q=-3$:
$S_6 = \frac{2 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим степень в числителе:
$(-3)^6 = 729$
Теперь подставим это значение в выражение для суммы:
$S_6 = \frac{2 \cdot (729 - 1)}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{1456}{-4}$
$S_6 = -364$

Ответ: -364