Номер 618, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

618. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n её членов, если:

1) Обсудите ход доказательства.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Чтобы доказать, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену есть постоянное число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Таким образом, для доказательства нам нужно проверить, является ли отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ константой (не зависит от $n$).

Если последовательность является геометрической прогрессией, то для нахождения суммы ее первых $n$ членов используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель ($q \neq 1$).

Выполним задания.

а) Дана последовательность $b_n = 0,2 \cdot 5^n$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = 0,2 \cdot 5^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{0,2 \cdot 5^{n+1}}{0,2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{(n+1)-n} = 5^1 = 5$.
Так как отношение $q=5$ является постоянным числом, не зависящим от $n$, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=5$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 0,2 \cdot 5 = 1$.
Теперь используем формулу суммы для $b_1=1$ и $q=5$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=5$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) Дана последовательность $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Используем формулу суммы для $b_1=3$ и $q=2$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=2$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 3(2^n - 1)$.

в) Дана последовательность $b_n = 3^{1+n}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 3^{1+(n+1)} = 3^{n+2}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+2}}{3^{1+n}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1 = 3$.
Так как отношение $q=3$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.
Используем формулу суммы для $b_1=9$ и $q=3$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2} = 4,5(3^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=3$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 4,5(3^n - 1)$.

г) Дана последовательность $b_n = 2^{n+2}$.

1. Доказательство.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+3}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2^{(n+3)-(n+2)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянным числом, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.

2. Нахождение суммы первых $n$ членов.
Найдем первый член прогрессии ($n=1$):
$b_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Используем формулу суммы для $b_1=8$ и $q=2$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{8 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{8(2^n - 1)}{1} = 8(2^n - 1)$.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с $q=2$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n = 8(2^n - 1)$.