Номер 624, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 624, страница 178.

Условие.

624. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), из чего следует, что $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Из условия задачи мы можем составить систему уравнений. Сумма первых двух членов равна 8: $b_1 + b_2 = 8$ Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем: $b_1 + b_1q = 8$ $b_1(1 + q) = 8$ (1)

Сумма третьего и четвёртого членов равна 72: $b_3 + b_4 = 72$ $b_1q^2 + b_1q^3 = 72$ $b_1q^2(1 + q) = 72$ (2)

Для решения системы разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{b_1q^2(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{72}{8}$

Поскольку $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$ (так как $q>0$), мы можем сократить общие множители: $q^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $q = 3$ и $q = -3$. Так как по условию все члены прогрессии положительны, знаменатель $q$ должен быть положительным. Следовательно, $q = 3$.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 3$ в уравнение (1): $b_1(1 + 3) = 8$ $b_1 \cdot 4 = 8$ $b_1 = 2$

Мы определили параметры прогрессии: $b_1 = 2$ и $q = 3$.

Далее нам нужно найти количество членов $n$, сумму которых нужно сложить, чтобы получить 242. Для этого используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $S_n = 242$, $b_1 = 2$ и $q = 3$ в формулу: $242 = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1}$ $242 = \frac{2(3^n - 1)}{2}$ $242 = 3^n - 1$

Выразим $3^n$: $3^n = 242 + 1$ $3^n = 243$

Чтобы найти $n$, представим 243 как степень числа 3: $3^5 = 243$ Следовательно, $n=5$.

Ответ: 5