Страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

623. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 6 и b₄ = 54, если известно, что все её члены положительны.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Нам даны второй и четвертый члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 6$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 54$

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим выражение для $b_4$ на выражение для $b_2$:

$\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q}$

Подставим известные значения:

$\frac{54}{6} = q^2$

$9 = q^2$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $q$: $q = 3$ и $q = -3$.

По условию задачи все члены прогрессии положительны. Если бы знаменатель $q$ был отрицательным ($q = -3$), то знаки членов прогрессии чередовались бы. Поскольку $b_2 = 6$ (положительное число), $b_3$ был бы равен $b_2 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$ (отрицательное число), что противоречит условию. Следовательно, знаменатель прогрессии $q$ должен быть положительным.

Таким образом, $q = 3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу для $b_2$:

$b_1 \cdot q = 6$

$b_1 \cdot 3 = 6$

$b_1 = \frac{6}{3} = 2$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам нужно найти сумму первых семи членов ($n=7$). Подставим в формулу известные значения $b_1 = 2$ и $q = 3$:

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^7$:

$3^7 = 2187$

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_7 = \frac{2(2187 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 2186}{2} = 2186$

Ответ: 2186

624. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), из чего следует, что $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Из условия задачи мы можем составить систему уравнений. Сумма первых двух членов равна 8: $b_1 + b_2 = 8$ Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем: $b_1 + b_1q = 8$ $b_1(1 + q) = 8$ (1)

Сумма третьего и четвёртого членов равна 72: $b_3 + b_4 = 72$ $b_1q^2 + b_1q^3 = 72$ $b_1q^2(1 + q) = 72$ (2)

Для решения системы разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{b_1q^2(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{72}{8}$

Поскольку $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$ (так как $q>0$), мы можем сократить общие множители: $q^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $q = 3$ и $q = -3$. Так как по условию все члены прогрессии положительны, знаменатель $q$ должен быть положительным. Следовательно, $q = 3$.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 3$ в уравнение (1): $b_1(1 + 3) = 8$ $b_1 \cdot 4 = 8$ $b_1 = 2$

Мы определили параметры прогрессии: $b_1 = 2$ и $q = 3$.

Далее нам нужно найти количество членов $n$, сумму которых нужно сложить, чтобы получить 242. Для этого используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $S_n = 242$, $b_1 = 2$ и $q = 3$ в формулу: $242 = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1}$ $242 = \frac{2(3^n - 1)}{2}$ $242 = 3^n - 1$

Выразим $3^n$: $3^n = 242 + 1$ $3^n = 243$

Чтобы найти $n$, представим 243 как степень числа 3: $3^5 = 243$ Следовательно, $n=5$.

Ответ: 5

625. Найдите первый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₇ = 0,012 и q = 0,2. Запишите формулу n-го члена этой прогрессии.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.

Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$)

По условию задачи даны седьмой член прогрессии $b_7 = 0.012$ и знаменатель $q = 0.2$. Подставим эти значения в формулу для n-го члена при $n=7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$

$0.012 = b_1 \cdot (0.2)^6$

Сначала вычислим $(0.2)^6$:

$(0.2)^6 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.000064$

Теперь выразим $b_1$ из уравнения:

$b_1 = \frac{0.012}{0.000064}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 1 000 000, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$b_1 = \frac{0.012 \cdot 1000000}{0.000064 \cdot 1000000} = \frac{12000}{64}$

Сократим полученную дробь:

$b_1 = 187.5$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 187,5.

Ответ: $b_1 = 187.5$.

Запишите формулу n-го члена этой прогрессии

Теперь, зная первый член $b_1 = 187.5$ и знаменатель $q = 0.2$, мы можем записать формулу для n-го члена данной прогрессии, подставив эти значения в общую формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_n = 187.5 \cdot (0.2)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 187.5 \cdot (0.2)^{n-1}$.

626. Сократите дробь:

Чтобы сократить дробь $\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n}$, разделим каждый член числителя на знаменатель. Это возможно благодаря свойству дробей $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$.

$\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n} = \frac{2^{n+2}}{2^n} - \frac{2^{n-2}}{2^n}$

Далее используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$ для каждого из полученных выражений:

Для первого члена: $\frac{2^{n+2}}{2^n} = 2^{(n+2)-n} = 2^2 = 4$.

Для второго члена: $\frac{2^{n-2}}{2^n} = 2^{(n-2)-n} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Теперь выполним вычитание:

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

Ответ: $\frac{15}{4}$.

Чтобы сократить дробь $\frac{25^n - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$, сначала приведем все степени к основанию 5.

Мы знаем, что $25 = 5^2$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем: $25^n = (5^2)^n = 5^{2n}$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{5^{2n} - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$

Как и в предыдущем задании, разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5^{2n}}{5^{2n}} - \frac{5^{2n-1}}{5^{2n}}$

Упростим каждое частное, используя свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{5^{2n}}{5^{2n}} = 5^{2n-2n} = 5^0 = 1$.

$\frac{5^{2n-1}}{5^{2n}} = 5^{(2n-1)-2n} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

В завершение, выполним вычитание:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

627. Решите неравенство:

а) 1,5x – x² ≤ 0;

б) x² + x + 6 › 0.

а)

Для решения неравенства $1,5x - x^2 \le 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $1,5x - x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,5 - x) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1,5$.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $y = 1,5x - x^2$. Ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=1,5$. Так как ветви направлены вниз, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) за пределами интервала между корнями и положительными (больше нуля) внутри этого интервала.

Нас интересуют значения $x$, при которых $1,5x - x^2 \le 0$, то есть где функция неположительна. Это происходит, когда $x$ находится левее первого корня (включая корень) или правее второго корня (включая корень).

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1,5; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $x^2 + x + 6 > 0$ рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 6$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем корни уравнения $x^2 + x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ох, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение выражения $x^2 + x + 6$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 + x + 6 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

628. Какую фигуру задаёт на координатной плоскости система неравенств

Для того чтобы определить, какую фигуру задает система неравенств на координатной плоскости, необходимо проанализировать каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение областей, которые они задают.

Исходная система неравенств: $ \begin{cases} 3x - y \ge 0, \\ y - 5 \ge 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $3x - y \ge 0$.
Выразим y:
$-y \ge -3x$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$y \le 3x$
Это неравенство задает полуплоскость, которая находится на и ниже прямой $y = 3x$. Эта прямая проходит через начало координат (0, 0) и имеет угловой коэффициент 3.

Рассмотрим второе неравенство: $y - 5 \ge 0$.
Выразим y:
$y \ge 5$
Это неравенство задает полуплоскость, которая находится на и выше горизонтальной прямой $y = 5$.

Фигура, которую задает система, является пересечением этих двух полуплоскостей. Это множество всех точек (x, y), которые удовлетворяют обоим условиям: $y \le 3x$ и $y \ge 5$.

Чтобы лучше понять форму этой фигуры, найдем точку пересечения граничных прямых $y = 3x$ и $y = 5$. Для этого подставим $y=5$ в первое уравнение:
$5 = 3x$
$x = \frac{5}{3}$
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами $(\frac{5}{3}, 5)$.

Эта точка является вершиной искомой фигуры. Фигура представляет собой угол (или бесконечную угловую область), ограниченный двумя лучами, выходящими из этой вершины:
1. Луч, являющийся частью прямой $y = 5$, идущий вправо (где $x \ge \frac{5}{3}$).
2. Луч, являющийся частью прямой $y = 3x$, идущий вверх и вправо (где $x \ge \frac{5}{3}$ и, соответственно, $y \ge 5$).
Итак, искомая фигура — это угол с вершиной в точке $(\frac{5}{3}, 5)$, стороны которого лежат на прямых $y=3x$ и $y=5$.

Ответ: Система неравенств задает на координатной плоскости угол с вершиной в точке $(\frac{5}{3}, 5)$, стороны которого являются лучами, лежащими на прямых $y = 3x$ и $y = 5$.

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Сформулируйте определение геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Если обозначить члены геометрической прогрессии как $(b_n)$, то для любого натурального числа $n$ будет справедливо рекуррентное соотношение: $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_1 \neq 0$ и $q$ — некоторое постоянное число, не равное нулю.

Например, последовательность чисел 3, 6, 12, 24, 48, ... является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на 2.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют то самое постоянное число, на которое умножается каждый член последовательности для получения следующего. Знаменатель принято обозначать буквой $q$.

Для любой геометрической прогрессии $(b_n)$ её знаменатель $q$ можно найти как отношение любого её члена (начиная со второго) к предыдущему члену. Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

В приведенном выше примере (3, 6, 12, 24, ...), знаменатель $q$ равен: $q = \frac{6}{3} = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное для данной последовательности число $q$, равное отношению любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему члену.

2. Как выражается квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q$, где $q \ne 0$.

По определению геометрической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Это можно записать в виде формулы для любого натурального числа $n \ge 2$:

$b_n = b_{n-1} \cdot q$

Возьмем произвольный член прогрессии $b_n$ при условии, что $n \ge 2$. Для этого члена предыдущим является $b_{n-1}$, а последующим — $b_{n+1}$.

Давайте выразим последующий член $b_{n+1}$ через $b_n$:

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Теперь выразим знаменатель $q$ из этого соотношения (при условии, что $b_n \ne 0$):

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Подставим полученное выражение для $q$ в исходную формулу $b_n = b_{n-1} \cdot q$:

$b_n = b_{n-1} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя в правой части, умножим обе части равенства на $b_n$:

$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

В результате получаем искомую формулу:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это свойство является характеристическим для геометрической прогрессии. Оно утверждает, что квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов: предыдущего и последующего. Также это означает, что модуль любого члена прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим его соседних членов: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Ответ: Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его предыдущего и последующего членов. Если обозначить произвольный член прогрессии как $b_n$ (где $n \ge 2$), предыдущий член как $b_{n-1}$, а последующий как $b_{n+1}$, то искомое выражение имеет вид: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

3. Запишите формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Обозначим:

• $b_1$ — первый член прогрессии;
• $q$ — знаменатель прогрессии ($q \neq 0$);
• $n$ — номер члена прогрессии;
• $b_n$ — n-й член прогрессии.

По определению, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$
...

Как видно из этого ряда, для нахождения любого члена прогрессии с номером $n$ нужно первый член $b_1$ умножить на знаменатель $q$ в степени $n-1$.

Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии обозначается как $S_n$.
$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

Для вывода формулы запишем сумму, используя формулу n-го члена:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем из второго равенства первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Если знаменатель $q \neq 1$, то мы можем разделить обе части на $(q - 1)$ и получить формулу суммы.
Если же $q = 1$, то все члены прогрессии равны первому члену $b_1$, и сумма будет равна $S_n = n \cdot b_1$.

Формулу для $q \neq 1$ также можно записать в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, умножив числитель и знаменатель на -1. Этот вид удобен, когда $|q| < 1$.

Ответ:
При $q \neq 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
При $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$