Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

593. Найдите седьмой и n-й члены геометрической прогрессии:

а)

Дана геометрическая прогрессия $2; -6; \dots$ .

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{2} = -3$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения, чтобы найти седьмой член прогрессии ($n=7$):

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 2 \cdot (-3)^6 = 2 \cdot 729 = 1458$.

Теперь найдем формулу для n-го члена:

$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

Ответ: $b_7 = 1458$; $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $-40; -20; \dots$ .

Первый член этой прогрессии $b_1 = -40$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$.

Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -40 \cdot (\frac{1}{2})^6 = -40 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{40}{64} = -\frac{5}{8}$.

Теперь найдем формулу для n-го члена:

$b_n = -40 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Ответ: $b_7 = -\frac{5}{8}$; $b_n = -40 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

в)

Дана геометрическая прогрессия $-0,125; 0,25; \dots$ .

Первый член этой прогрессии $b_1 = -0,125$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,25}{-0,125} = -2$.

Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -0,125 \cdot (-2)^6 = -0,125 \cdot 64 = -8$.

Теперь найдем формулу для n-го члена:

$b_n = -0,125 \cdot (-2)^{n-1}$.

Ответ: $b_7 = -8$; $b_n = -0,125 \cdot (-2)^{n-1}$.

г)

Дана геометрическая прогрессия $-10; 10; \dots$ .

Первый член этой прогрессии $b_1 = -10$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-10} = -1$.

Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -10 \cdot (-1)^6 = -10 \cdot 1 = -10$.

Теперь найдем формулу для n-го члена:

$b_n = -10 \cdot (-1)^{n-1}$.

Эту формулу можно упростить: $b_n = -10 \cdot (-1)^{n-1} = 10 \cdot (-1)^1 \cdot (-1)^{n-1} = 10 \cdot (-1)^{1+n-1} = 10 \cdot (-1)^n$.

Ответ: $b_7 = -10$; $b_n = 10 \cdot (-1)^n$.

594. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии:

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а)

Дана геометрическая прогрессия $48; 12; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = 48$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3 \cdot 16}{64 \cdot 16} = \frac{3}{64}$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = \frac{3}{64}$, $b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $\frac{64}{9}; -\frac{32}{3}; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = -\frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = -(2 \cdot 27) = -54$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = -54$, $b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

в)

Дана геометрическая прогрессия $-0,001; -0,01; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -0,001$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,01}{-0,001} = 10$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -0,001 \cdot 10^5 = -0,001 \cdot 100000 = -100$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -0,001 \cdot 10^{n-1} = -10^{-3} \cdot 10^{n-1} = -10^{n-3-1} = -10^{n-4}$

Ответ: $b_6 = -100$, $b_n = -10^{n-4}$.

г)

Дана геометрическая прогрессия $-100; 10; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -100$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-100} = -0,1$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -100 \cdot (-0,1)^5 = -100 \cdot (-0,00001) = 0,001$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = 0,001$, $b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$.

595. В треугольнике АВС (рис. 72) провели среднюю линию А₁С₁, в треугольнике А₁ВС₁ также провели среднюю линию А₂С₂, во вновь образовавшемся треугольнике А₂ВС₂ снова провели среднюю линию А₃С₃ и т. д. Найдите площадь треугольника А₉ВС₉, если известно, что площадь треугольника АВС равна 768 см².

Согласно условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $A_1C_1$. Это означает, что точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум сторонам и углу между ними: угол $B$ общий, а $BA_1 = \frac{1}{2}BA$ и $BC_1 = \frac{1}{2}BC$).

Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{BA_1}{BA} = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle A_1BC_1}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Следовательно, площадь треугольника $A_1BC_1$ составляет $\frac{1}{4}$ от площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle A_1BC_1} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$

Далее, в треугольнике $A_1BC_1$ проводится средняя линия $A_2C_2$, образуя треугольник $A_2BC_2$. По аналогии, его площадь будет в 4 раза меньше площади треугольника $A_1BC_1$:

$S_{\triangle A_2BC_2} = \frac{1}{4} S_{\triangle A_1BC_1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4} S_{\triangle ABC}) = (\frac{1}{4})^2 S_{\triangle ABC}$

Этот процесс повторяется. Мы можем заметить закономерность: площадь треугольника $A_nBC_n$ связана с площадью исходного треугольника $ABC$ следующей формулой:

$S_{\triangle A_nBC_n} = (\frac{1}{4})^n S_{\triangle ABC}$

Нам нужно найти площадь треугольника $A_9BC_9$. Для этого воспользуемся полученной формулой при $n=9$ и известной площади $S_{\triangle ABC} = 768$ см².

$S_{\triangle A_9BC_9} = (\frac{1}{4})^9 \times S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4^9} \times 768$

Для упрощения вычислений представим числа в виде степеней двойки:

$4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$

$768 = 3 \times 256 = 3 \times 2^8$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$S_{\triangle A_9BC_9} = \frac{3 \times 2^8}{2^{18}} = 3 \times 2^{8-18} = 3 \times 2^{-10} = \frac{3}{2^{10}} = \frac{3}{1024}$

Таким образом, площадь треугольника $A_9BC_9$ равна $\frac{3}{1024}$ см².

Ответ: $\frac{3}{1024}$ см².

596. Найдите первый член геометрической прогрессии (bₙ), если:

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы можно выразить $b_1$: $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

а)

Дано: шестой член прогрессии $b_6 = 3$ и знаменатель прогрессии $q = 3$. В данном случае $n=6$. Подставим известные значения в формулу для нахождения первого члена: $b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{b_6}{q^5}$ $b_1 = \frac{3}{3^5}$ Вычислим значение $3^5$: $3^5 = 243$ Теперь найдем $b_1$: $b_1 = \frac{3}{243}$ Сократим полученную дробь на 3: $b_1 = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$.

б)

Дано: пятый член прогрессии $b_5 = 17\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -2\frac{1}{2}$. В данном случае $n=5$. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей для удобства вычислений: $b_5 = 17\frac{1}{2} = \frac{17 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{35}{2}$ $q = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ Подставим эти значения в формулу: $b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{b_5}{q^4}$ $b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{(-\frac{5}{2})^4}$ Возведем знаменатель в степень. Так как степень (4) четная, результат будет положительным: $(-\frac{5}{2})^4 = \frac{(-5)^4}{2^4} = \frac{625}{16}$ Теперь найдем $b_1$. Для этого разделим $b_5$ на полученное значение $q^4$: $b_1 = \frac{35}{2} \div \frac{625}{16}$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $b_1 = \frac{35}{2} \cdot \frac{16}{625}$ Сократим дроби перед умножением для упрощения расчета: $b_1 = \frac{35 \cdot 16}{2 \cdot 625} = \frac{35 \cdot 8}{625}$ Числа 35 и 625 делятся на 5: $b_1 = \frac{(7 \cdot 5) \cdot 8}{125 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 8}{125} = \frac{56}{125}$

Ответ: $\frac{56}{125}$.

597. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (cₙ), если:

а)

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой, связывающей любые два ее члена $c_n$ и $c_m$: $c_n = c_m \cdot q^{n-m}$.

В данном случае нам известны $c_5 = -6$ и $c_7 = -54$. Примем $n=7$ и $m=5$. Подставим известные значения в формулу:

$c_7 = c_5 \cdot q^{7-5}$

$-54 = -6 \cdot q^2$

Чтобы найти $q^2$, разделим обе части уравнения на $-6$:

$q^2 = \frac{-54}{-6} = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных значения для $q$:

$q = \sqrt{9}$ или $q = -\sqrt{9}$

$q_1 = 3$, $q_2 = -3$

Ответ: $q = 3$ или $q = -3$.

б)

Используем ту же формулу $c_n = c_m \cdot q^{n-m}$ для известных членов прогрессии $c_6 = 25$ и $c_8 = 4$. Примем $n=8$ и $m=6$.

$c_8 = c_6 \cdot q^{8-6}$

$4 = 25 \cdot q^2$

Выразим $q^2$, разделив обе части уравнения на 25:

$q^2 = \frac{4}{25}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два возможных значения для знаменателя $q$:

$q = \sqrt{\frac{4}{25}}$ или $q = -\sqrt{\frac{4}{25}}$

$q_1 = \frac{2}{5}$, $q_2 = -\frac{2}{5}$

Ответ: $q = \frac{2}{5}$ или $q = -\frac{2}{5}$.

598. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а)

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам даны $x_6 = 0,32$ и $q = 0,2$. Подставим эти значения в формулу для $n=6$:

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1}$

$0,32 = x_1 \cdot (0,2)^5$

Сначала вычислим $(0,2)^5$:

$(0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$0,32 = x_1 \cdot 0,00032$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{0,32}{0,00032} = \frac{32000}{32} = 1000$

Ответ: $x_1 = 1000$.

б)

Для связи двух любых членов геометрической прогрессии $x_n$ и $x_k$ можно использовать формулу: $x_n = x_k \cdot q^{n-k}$.

По условию нам даны $x_3 = -162$ и $x_5 = -18$. Подставим эти значения в формулу, взяв $n=5$ и $k=3$:

$x_5 = x_3 \cdot q^{5-3}$

$-18 = -162 \cdot q^2$

Теперь выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{-18}{-162} = \frac{18}{162}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 18:

$q^2 = \frac{1}{9}$

Чтобы найти $q$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что уравнение имеет два решения, так как в квадрат можно возводить как положительное, так и отрицательное число.

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$

Следовательно, знаменатель прогрессии может быть равен как $\frac{1}{3}$, так и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $q = \frac{1}{3}$ или $q = -\frac{1}{3}$.

599. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) Найти $b_6$, если $b_1 = 125$, $b_3 = 5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$5 = 125 \cdot q^2$

Отсюда найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Это означает, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения: $q = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь найдем $b_6$. Для этого можно использовать более общую формулу, связывающую любые два члена прогрессии: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Выразим $b_6$ через $b_3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$:

1. Если $q = \frac{1}{5}$, то $b_6 = 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 5 \cdot \frac{1}{125} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$.

2. Если $q = -\frac{1}{5}$, то $b_6 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^3 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = -\frac{5}{125} = -\frac{1}{25}$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_6 = \frac{1}{25}$ или $b_6 = -\frac{1}{25}$.

б) Найти $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}$, $b_3 = -2$.

Сначала найдем квадрат знаменателя прогрессии $q^2$, используя формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$-2 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9$

Теперь найдем $b_7$. Удобно выразить $b_7$ через $b_3$, используя формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$:

$b_7 = b_3 \cdot q^{7-3} = b_3 \cdot q^4$

Мы знаем, что $q^2 = 9$, следовательно $q^4 = (q^2)^2 = 9^2 = 81$.

Теперь можем вычислить $b_7$:

$b_7 = -2 \cdot 81 = -162$.

В данном случае, хотя $q$ может быть как $3$, так и $-3$, значение $b_7$ однозначно, так как оно зависит от $q^4$, а четная степень числа не зависит от его знака.

Ответ: $b_7 = -162$.

в) Найти $b_1$, если $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$ для $n=6$ и $k=4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$-100 = -1 \cdot q^2$

Отсюда $q^2 = 100$.

Это означает, что знаменатель $q$ может быть равен $10$ или $-10$.

Теперь найдем $b_1$. Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$:

1. Если $q = 10$, то $b_1 = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0,001$.

2. Если $q = -10$, то $b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0,001$.

Таким образом, задача снова имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = -0,001$ или $b_1 = 0,001$.

600. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Пусть искомые три числа вместе с данными числами 2 и 162 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$. В этой прогрессии будет 5 членов, так как мы вставляем 3 числа между двумя данными ($1+3+1=5$).

Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию, в которой первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$. Нам необходимо найти второй ($b_2$), третий ($b_3$) и четвертый ($b_4$) члены этой прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу для пятого члена, мы можем найти знаменатель $q$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$162 = 2 \cdot q^4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$q^4 = \frac{162}{2}$
$q^4 = 81$

Так как степень показателя (4) четная, уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt[4]{81} = 3$ и $q = -\sqrt[4]{81} = -3$. Это означает, что существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 1: знаменатель $q = 3$
Найдем искомые члены прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на 3:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$
В этом случае искомые числа: 6, 18, 54. Полученная прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162.

Случай 2: знаменатель $q = -3$
Найдем искомые члены прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на -3:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-3) = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54$
В этом случае искомые числа: -6, 18, -54. Полученная прогрессия: 2, -6, 18, -54, 162.

Ответ: 6, 18, 54 или -6, 18, -54.

601. Геометрическая прогрессия (xₙ) состоит из четырёх членов: 2, a, b, $\frac{1}{4}$. Найдите a и b.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(x_n)$, где $x_1, x_2, x_3, x_4$ — её члены.
По условию задачи, нам известны следующие члены:
$x_1 = 2$
$x_2 = a$
$x_3 = b$
$x_4 = \frac{1}{4}$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу для четвертого члена прогрессии, мы можем найти знаменатель $q$.
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения $x_1 = 2$ и $x_4 = \frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4} = 2 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $q^3$:
$q^3 = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$

Теперь найдем значение $q$, извлекая кубический корень:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q$, мы можем найти неизвестные члены $a$ и $b$.

$a$ — это второй член прогрессии, $x_2$:
$a = x_2 = x_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$b$ — это третий член прогрессии, $x_3$:
$b = x_3 = x_2 \cdot q = a \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомые значения $a$ и $b$ найдены.
Ответ: $a=1, b=\frac{1}{2}$.

602. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bₙ), если известно, что b₂ = 6, b₄ = 24.

Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия, а $q$ — её знаменатель.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы следует, что любой член прогрессии можно выразить через другой её член по формуле $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

По условию задачи известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Сначала найдем квадрат знаменателя прогрессии, $q^2$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей $b_4$ и $b_2$:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$

$b_4 = b_2 \cdot q^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$24 = 6 \cdot q^2$

Отсюда выразим и вычислим $q^2$:

$q^2 = \frac{24}{6} = 4$

Теперь необходимо найти шестой член прогрессии, $b_6$. Выразим его через известный четвертый член $b_4$ и найденное значение $q^2$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4}$

$b_6 = b_4 \cdot q^2$

Подставим значения $b_4 = 24$ и $q^2 = 4$:

$b_6 = 24 \cdot 4 = 96$

Ответ: 96

603. Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, поскольку ежегодный прирост населения рассчитывается от обновленной численности каждый год, а не от первоначальной.

Формула для расчета населения через определенное количество лет выглядит следующим образом:
$S = P \cdot (1 + r)^n$
где:
$S$ — итоговое население,
$P$ — начальное население,
$r$ — годовой прирост, выраженный в долях (процент, деленный на 100),
$n$ — количество лет.

В нашей задаче даны следующие значения:
Начальное население $P = 60 \ 000$ человек.
Годовой прирост $r = 2\% = \frac{2}{100} = 0.02$.
Количество лет $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
$S = 60000 \cdot (1 + 0.02)^5$
$S = 60000 \cdot (1.02)^5$

Сначала вычислим $(1.02)^5$:
$(1.02)^5 = 1.02 \cdot 1.02 \cdot 1.02 \cdot 1.02 \cdot 1.02 \approx 1.1040808$

Теперь умножим полученное значение на начальную численность населения:
$S \approx 60000 \cdot 1.1040808$
$S \approx 66244.848$

Поскольку численность населения — это целое число, округлим полученный результат до ближайшего целого.

Ответ: через 5 лет население города составит примерно 66 245 человек.