Номер 596, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии - номер 596, страница 172.

Условие.

596. Найдите первый член геометрической прогрессии (bₙ), если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы можно выразить $b_1$: $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

а)

Дано: шестой член прогрессии $b_6 = 3$ и знаменатель прогрессии $q = 3$. В данном случае $n=6$. Подставим известные значения в формулу для нахождения первого члена: $b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{b_6}{q^5}$ $b_1 = \frac{3}{3^5}$ Вычислим значение $3^5$: $3^5 = 243$ Теперь найдем $b_1$: $b_1 = \frac{3}{243}$ Сократим полученную дробь на 3: $b_1 = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$.

б)

Дано: пятый член прогрессии $b_5 = 17\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -2\frac{1}{2}$. В данном случае $n=5$. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей для удобства вычислений: $b_5 = 17\frac{1}{2} = \frac{17 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{35}{2}$ $q = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ Подставим эти значения в формулу: $b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{b_5}{q^4}$ $b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{(-\frac{5}{2})^4}$ Возведем знаменатель в степень. Так как степень (4) четная, результат будет положительным: $(-\frac{5}{2})^4 = \frac{(-5)^4}{2^4} = \frac{625}{16}$ Теперь найдем $b_1$. Для этого разделим $b_5$ на полученное значение $q^4$: $b_1 = \frac{35}{2} \div \frac{625}{16}$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $b_1 = \frac{35}{2} \cdot \frac{16}{625}$ Сократим дроби перед умножением для упрощения расчета: $b_1 = \frac{35 \cdot 16}{2 \cdot 625} = \frac{35 \cdot 8}{625}$ Числа 35 и 625 делятся на 5: $b_1 = \frac{(7 \cdot 5) \cdot 8}{125 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 8}{125} = \frac{56}{125}$

Ответ: $\frac{56}{125}$.